Wann ist ein System statisch bestimmt oder unbestimmt?

2 Antworten

Ein stat. System das genau soviele Auflager hat wie es benötigt um stabil zu sein, ist statisch bestimmt. DIe Auflagerkräfte und Schnittgrößenverläufe lassen sich dann bereits ermitteln, wenn man nur die Gleichsgewichtsbedingungen anwendet.

Hat es weniger Auflager ist es "statisch unterbestimmt" also instabil. Das System ist also gar nicht um Gleichgewicht und gehört nicht mehr zur Statik, denn es wird sich bewegen.

Hat es hingegen mehr Auflager als es benötig nennt man es statisch unbestimmt. Das System ist stabil - sogar stabiler als ein statisch bestimmtes - aber die Auflagerkräfte sind abhängig von den Steifigkeiten der Querschnitte.

Kurz gesagt, wenn man aus dem System noch Auflager entfernen könnte (bzw Gelenke hinzufügen), ohne das es dadurch instabil wird, dann ist es statisch unbestimmt. Kann man keine Auflager mehr entfernen ist es statisch bestimmt.

Das einfachste vollstellbare System ist ja der Balken auf 2 Stützen. Dieser ist statisch bestimmt es gibt 3 Auflagereaktionen (2 vertikale Lager und 1 horizantales Lager) und es gibt 3 Freiheitsgrade (Summe der vertikalen Kräfte, Summe der horizontalen Kräfte und Summe der Momente). Das System kann eineindeutig berechnet werden, egal welche Kräfte darauf wirken oder was für ein Balken verwendet wird. Würde man ein Auflager entfernen würde das ganze zusammenfallen. Würde man ein Auflager hinzufügen, müsste man zunächst die Querschnittswerte des Balkens kennen um eine Lösung zu ermitteln.

Für ein Kind würde ich mir das so vorstellen: zwei Personen tragen ein Kantholz, jeder an einem Ende. Egal welches Kantholz sie tragen, ob lang oder kurz, ein durchänges Brett oder ein kräftigen Balken, jeder von den beiden wird genau die Hälfte der Balkenmasse tragen. Ist einer von beiden etwas größer oder kleiner, oder falls einer in die Knie geht, liegt der Balken eben schief, aber totzdem bleibt es bei 50:50.

Wenn nun eine 3. Person dazukommt und sich genau in die mitte Stellt, was passiert dann? Wenn es ein kräftiger Balken ist und die Person in der Mitte faul und daher ist in die Knie geht, dann liegt der Balken nicht mehr auf seiner Schulter - die beiden äußeren Personen tragen den Balken alleine. Wenn ist sich auf Zehnspitzen stellt dann muss er den Balken alleine tragen weil er ihn so hoch drückt, dass er den anderen nicht mehr auf der Schulter liegt.

Wenn es allerding nur ein dünne leiste ist, da daher sehr stark durchhängt in der Mitte, dann kann er in die Knie gehen wie er will trotzdem liegt das Dingen auch auf seiner Schulter bzw. wenn er sich auf die Zehnspitzen stellt, dann müssen die Personen an den Enden trotzdem noch was tragen. Wer wieviel tragen muss hängt also davon ab wie steif der Balken/die Auflager sind.

Ein Stab im ebenen System hat genau 3 Freiheitsgrade. Also er kann sich in x (horizontal), z (vertikal) bewegen und er kann sich drehen um y-Achse. Bei einen ganz einfachen Träger (Einfeldträger) hast du rechts und links ein Vertikales lager und eins davon muss auch noch horizontal fest sein. Somit hast du 3 Freiheitsgrade für den Stab und 3 Lager die diese Freiheiten unterbinden macht in der Summe 0 Statisch bestimmt.

Das gleiche beim Kragträger 3 Freiheitsgrade wieder für den Stab und 3 Lagerbedingungen und zwar für N;Q;M alle als Einspannung auf einer Seite. Auch hier wieder 3-3=0.

So kann man das einfach weiter machen 2 Stäbe = 2*3=6 Freiheitsgrade.

Im Räumlichen hast du nochmal 3 Freiheiten Pro Stab mehr Verschiebung in x,y,z und Drehung um x,y,z

Vllt hilft dir das ja weiter, wenn nicht mach nen Beispiel und ich guck mal.

Hi, schonmal vielen Dank für die Antwort.

Nur nochmal zum wiederholen. Ich habe einen Einfeldträger. Dieser liegt logischerweise auf zwei Lagern. Eines davon ist ein Einwertiges und das andere ein Zweiwertiges Lager. D.H.: 3 Bewegungsmöglichkeiten des Stabes -minus- der Summe der Wertigkeit der Auflager sollte 0 ergeben bei einem statisch bestimmten System. Richtig?

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@pipestick

Jup, genau. Du kannst auch beide Lager 2 wertig machen, dann hast du 3-4 =-1 oder 4-3=1 (ist ja auch relativ egal) und ein einfach statisch unbestimmtes Bauteil. (Ob du die Lagerungen bei der Schnittgrößenermittlung brauchst oder nicht, hier werden sie mitgezählt. (vertikale Belastung erzeugt ja bekanntlich keine horizontallast somit wären die 2 Halterungen 0)

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