Wann ist die Lösungsmenge eines Gleichungssystems leer?

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4 Antworten

Dies ist der Fall, fals keine Lösung existiert, welche das Gleichunssystem erfüllt.

Bsp:

x² = -1

, diese Gleichung besitzt eine leere Lösungsmenge auf den reellen Zahlen, da auf diesen die Ungleichung:

x² >= 0 für alle x aus IR, erfüllt ist.

Ein Beispiel für ein LGS mit leerer Lösungsmenge wäre:

I) a + b = 2

II) 2a + 2b = 6

Es lässt sich hier Beispielsweise II) auf I) zurückführen wobei dabei ein Widerspruch auftritt, denn man betrachte:

II)*0.5 --> a + b = 3     aber nach I):  a + b = 2

--> Widerspruch, dass LGS besitzt keine Lösung.

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... wenn ein Widerspruch zwischen den Gleichungen besteht.

3x + 4 = y         

6x + 4 = y      (Widerspruch)

Gruß, H. 

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zB

y-3x=4

y-3x=5

Gleichungen subtrahieren, ergibt:

0 = -1    falsche Aussage

also Lösungsmenge = leer

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supergirl1001 01.12.2016, 17:06

Wäre es eigentlich nicht 0 = 1 ?

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Ellejolka 01.12.2016, 17:28
@supergirl1001

wenn du II-I rechnest, dann hast du recht;

man kann aber auch I-II rechnen, dann =-1

ist aber egal für die leere Menge.

0

  Für LGS wenn du dich imtressierst; steht ales in Kowalsky oder Greub; Band 1 .

   Sie ist leer genau dann, wenn der Rang ihrer Koeffizientenmatrix ( KM ) um Eins kleiner ist als der Rang der erweiterten KM .

   Logisch; das LGS besagt doch nichts anderes als, der Vektor der rechten Seite lässt sich darstellen als ===> Linearkombination der Spalten der KM .

   Spielen wir das mal durch an dem Beispiel von der Community; der hart KM

    - 3  1

    - 3  1      (  1  )

   Matrix ( 1 ) hat Rang 1 ; du hast zwei gleiche Zeilen ( oder Spalten. ) Jettzt die erweiterte

    - 3  1  4

    - 3  1   5         (  2  )

   Dass Zeile 2 linear unabhängig ist von Zeile 1 , sieht man unmittelbar.

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