Wahrscheinlichkeiten, Unabhängige Ereignisse?
Ein idealer Würfel wird zweimal geworfen. Welche zwei der folgenden Ereignisse sind
unabhängig? E: Im 2. Wurf eine 4"
F: Zwei gleiche Augenzahlen"
G: Die Augensumme ist kleiner als 5"
1 Antwort
2 Ereignisse sind stochastisch unabhängig wenn gilt: P(A und B)=P(A)*P(B).
Also rechne erst einmal die Wahrscheinlichkeiten für die hier angegebenen Ereignisse E, F und G aus:
P(E)=1/6 [erster Wurf ist egal, für den zweiten gibt es nur 1 von 6 Möglichkeiten; oder anderer Gedankengang: nur bei 6 der möglichen 36 Zahlenpaare ist die zweite Zahl eine 4]
P(F)=1/6 [hier ist die Augenzahl im ersten Wurf auch egal, aber die zweite muss die gleiche wie die erste sein, und da gibt es auch nur 1 von 6 Möglichkeiten; oder: nur bei 6 der 36 Zahlenpaare sind beide Zahlen gleich]
P(G)=1/6 [es gibt 36 mögliche Zahlenpaare bei 2 Würfen; 6 davon ergeben eine Summe kleiner als 5: 1+1, 1+2, 1+3, 2+1, 2+2, 3+1]
P(E und F)=1/36 [der zweite Wurf muss eine 4 sein (Ereignis E) und beide Zahlen müssen gleich sein (Ereignis F), also kommt nur das eine Zahlenpaare (4;4) in Frage], und das ist gleich P(E)*P(F), also sind diese beiden Ereignisse schon einmal stochastisch unabhängig.
P(E und G)=0 [ist der zweite Wurf eine 4, dann kann die Summe mit dem ersten Wurf unmöglich kleiner als 5 sein], und das ist ungleich P(E)*P(G) => E und G sind nicht stochastisch unabhängig.
P(F und G)=1/18 [von den 36 Zahlenpaaren erfüllen nur 2 die Bedingungen "gleiche Augenzahl" und "Summe kleiner 5", nämlich (1;1) und (2;2)] => ≠P(F)*P(G) => nicht stochastisch unabhängig.