Bedingte Wahrscheinlichkeiten?
Ein Würfel wird zwei Mal geworfen,welche der folgenden Ereignisse sind voneinander unabhängig
A: Die Augensumme ist gerade
B: Die Augensumme ist ungerade
C: Die Augenzahlen sind verschieden
hat einer die Antworten dafür?
2 Antworten
Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A und B) = P(A)*P(B) gilt.
Bestimme also zunächst P(A), P(B) und P(C) und dann P(A und B), P(A und C) und P(B und C) und schaue dann ob die im vorherigen Absatz genannte Eigenschaft gilt.
A und B sind schonmal voneinander abhängig.
Abhängigkeit in diesem Falle bedeutet das wenn du weißt das ein Ereignis eingetreten ist. Sich die Wahrscheinlichkeit für das andere Ereigniss ändert.
Betrachten wir es für A und B. B hat normalerweise eine warscheinlichkeit von x/36tel wenn wir aber wissen das A eingetreten ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit das auch B eintritt 0/36 weil ein Ergebniss nicht gleichzeitig gerade oder ungerade sein kann.
Nehmen wir uns C vor.
Verschieden bedeutet kein Pasch.
Alle Pasch Würfe sind gerade. (Eine Zahl Mal 2 ergibt immer eine gerade Zahl)
Da B nur möglich ist wenn wir keinen Pasch geworfen haben. Ist C von B abhängig. Wenn wir wissen das B eingetreten ist. So muss auch C eingetreten sein.
B ist aber auch von C abhängig. Weil wenn wir wissen das C eingetreten ist. Ist die Wahrscheinlichkeit das B eintritt erhöht. Weil die möglichen Ergebnisse eingeschränkt sind. (Wir wissen ja das jede gerade Summe mit einem Pasch nicht mehr möglich ist. Somit ist die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung C um einiges höher)
Zwischen C und A besteht eine ähnliche Beziehung. Wenn A eingetreten ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit geringer das auch C eingetreten ist. Weil wir ja wissen das die ganzen ungeraden zahlen nicht mehr möglich sind.
Wenn wir wissen das C eingetreten ist wissen wir daß kein Pasch geworfen wurde. Was die Wahrscheinlichkeit geringer macht das auch A eingetreten ist.
Kurz: keines der Ereignisse ist unabhängig von einem anderen.
Hier ein Beispiel für zwei unabhängige Ereignisse: wir werfen einen Würfel 2 Mal.
Der erste wirft zeigt eine 6
Der zweite Wurf zeigt eine 6
Diese beiden Ereignisse sind gänzlich unabhängig voneinander. Weil egal was wir beim ersten Wurf werfen. Die Wahrscheinlichkeit das beim zweiten Wurf das zweite Ereigniss Eintritt ist immer gleich.
Noch zwei Beispiele für ein abhängige Ereignisse:
Das Ereigniss: beide Würfe zeigen eine 6 ist von den beiden Ereignissen oben abhängig. Und umgekehrt. Weil damit dieses Ereigniss Eintritt müssen die beiden Ereignisse auch eintreten.
Beispiel 2: eine Urne mit roten und gelben Kugeln. Wir ziehen 2 Mal eine. Ohne zurücklegen.
Wir ziehen beim ersten Mal eine rote Kugel.
Wir ziehen beim zweiten Mal eine blaue Kugel.
Hier ist das zweite Ereignis vom ersten abhängig. Wenn wir nämlich schon eine blaue Kugel beim ersten Mal gezogen haben. Dann ist die Wahrscheinlichkeit geringer das wir beim 2. Mal wieder eine blaue Kugel ziehen weil jetzt mehr rote Kugeln drinnen sind.
Umgekehrt müsste das auch gelten. Wenn wir wissen das wir beim zweiten Mal eine blaue Kugel gezogen haben. Ist es warscheinlicher das wir beim ersten Mal eine rote Kugel gezogen haben.