Wahrscheinlichkeit, zwei mal zahl und zwei mal Kopf werfen, ausrechnen?
Hey, gibt es eine Formel wie man Rechnungen, wie diese: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass man bei vier Würfen zwei mal Kopf und zwei mal Zahl wirft, ausrechnen kann, ohne alle Möglichkeiten aufzuschreiben?
6 Antworten
Im Grunde läuft es darauf hinaus, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten es gibt, 2 mal Kopf und 2 mal Zahl anzuordnen (Anzahl an Permutationen).
Bei unterscheidbaren Elementen A, B, C, D, wäre es 4!=4*3*2*1 (4 Möglichkeiten für das erste Element, 3 für das 2., 2 für das 3. Und 1 für das 4.). Da in diesem Fall aber jeweils 2 Elemente gleich sind, musst du jeweils durch die Anzahl an gleichen Elementen teilen, also 24/2/2=6.
Um nun zurück zur Wahrscheinlichkeit zu kommen: bei einem Wurf weißt du, dass die Wahrscheinlichkeit pro Ergebnis ½ beträgt, für ein ganz bestimmtes Ergebnis bei 4 Würfen beträgt sie (½)⁴=1/16. Diese Wahrscheinlichkeit musst du einfach nur mit der Anzahl an möglichen Ergebnissen multiplizieren, welche deine Bedingung erfüllen, in diesem Fall also 6.
Wenn beispielsweise gefragt wird, wie viele Möglichkeiten es für 10 mal Zahl bei 97 Würfen gibt, rechnest du 97!/10!/87!=97!/(10!*87!)=(97 über 10). Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis beträgt dabei (½)^97. Bei solchen Werten rechnest du mit dem Taschenrechner, da es per Hand viel zu aufwendig zum rechnen ist.
Bei so kleinen Zahlen geht es vielleicht mit dem Notieren aller 16 Möglichkeiten und Abzählen fast schneller als mit einer Formel.
Nehmen wir aber mal das Beispiel:
10 Würfe einer (fairen) Münze
P(genau 3 mal Kopf und 7 mal Zahl) = ?
Das ginge dann so:
Bei 10 Würfen gibt es insgesamt 2^10 = 1024 mögliche Wurffolgen.
Davon enthalten genau "10 tief 3" (Binomialkoeffizient) Möglichkeiten genau 3 mal "Kopf" und 7 mal "Zahl". Die Rechnung:
Binomial (10,3) = 10! / (3! * 7!) = (10*9*8) / (1*2*3) = 120
Ergebnis: P = 120 / 1024 = 0.117 (gerundet)
Die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" bei n Würfen k mal vorkommt, ist binomial verteilt.
W = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Hier
n = Anzahl der Würfe (4)
k = 2 (2x Kopf)
p = 0,5 (Wahrscheinlichkeit für Kopf)
Ja, natürlich ist das möglich.
such mal nach Bernoulli Eperiment :)
Wie kann man die Anzahl Bedingungen rausfinden ohne alle aufzuschreiben, weil wenn man 97 wirft dauert dies eine halbe Ewigkeit.