Wärmelehre mit Gasen?
Hallo zusammen.
Versteht jemand das rot eingerahmte Teil der Formel, wie man die Wärme berechnet? Der Anfang der Berechnung verstehe ich, es wird einfach mit dem Volumen und der Dichte die eigentliche Masse in kg und nicht wie in der eigentlichen Aufgabe angegeben in Liter. Doch die unterste Zeile, insbesondere dem roten Block, verstehe ich nicht ganz. Wenn mir also jemand kurz weiterhelfen möchte, wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüsse, Fragenauer
1 Antwort
Die Wärmekapazität C gibt an, welche Temperaturerhöhung ΔT daraus resultiert, dass man einem Stoff eine Wärmemenge von Q zuführt (v. v. die Wärmeabgabe):
C = Q/ΔT
Die spezifische Wärmekapazität bezieht dies zusätzlich auf die Masse des Stoffes:
c = Q/ΔTm
Für diese Wärmemenge gilt dann:
Q = ΔT⋅m⋅c
c, die spezifische Wärmekapazität von Luft ist tabelliert. Die Masse ist unbekannt, aber lässt sich über Dichte und Volumen angeben:
m = ρ⋅V
Die Dichte der kalten Luft lässt sich über das ideale Gasgesetz aus der Dichte bei 0°C und 1 bar bestimmen. Es gilt:
n⋅R⋅T = p⋅V
p ist der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge, R die Gaskonstante und T die absolute Temperatur. Dividiert man durch die molare Masse eines Stoffes (eben z. B. der von Luft), gelangt man zu
n⋅R⋅T⋅M⁻¹ = p⋅V⋅M⁻¹
R/M entspricht der spezifischen Gaskonstante Rₛ. Und statt molarer Masse und Stoffmenge, lässt sich auch stattdessen die Masse hinschreiben:
m⋅Rₛ⋅T = p⋅V
Durch V dividieren und man gelangt zur Dichte:
ρ⋅Rₛ⋅T = p
Diesen Ausdruck stellt man zur spezifischen Gaskonstante um. Für die kalte Luft und für die Umgebungsluft gelten dann jeweils:
Rₛ = pᵤ⋅Tᵤ⁻¹⋅ρᵤ⁻¹
Rₛ = p⋅T⁻¹⋅ρ⁻¹
Gleichsetzen und so umstellen, dass wir die erforderliche Dichte als Funktion der Dichte der Umgebungsluft ρᵤ ausdrücken können:
pᵤ⋅Tᵤ⁻¹⋅ρᵤ⁻¹ = p⋅T⁻¹⋅ρ⁻¹
[...]
ρ = ρᵤ⋅Tᵤ⋅p⋅pᵤ⁻¹⋅T⁻¹
(das ist der Ausdruck im roten Kasten)
Damit haben wir dann einen Ausdruck für Q:
Q = ΔT⋅ρᵤ⋅Tᵤ⋅p⋅pᵤ⁻¹⋅T⁻¹⋅V⋅c
Einsetzen (für die Luftdichte verwende ich 1,3 kg/m³ und für die spezifische Wärmekapazität 1,01 kJ / K kg):