Verteilung einer Zufallsvariable bestimmen?

Hallo, ich soll die Verteilung von $Y\ =\ \min\left\{X,1-X\right\}$ bestimmen, wobei $X$ eine auf $\left[0,1\right]$ gleichverteilte Zufallsvariable ist. Ich dachte, ich könnte vllt folgenden Satz anwenden:

nur verstehe ich die Notation nicht ganz, insbesondere, was mit $P^{g\ \circ X}=\left(P^X\right)^g$ gemeint ist.

Answer 1

[KunXz]

Seien X,Y zwei Zufallsvariablen, dann gilt

$P\left(\min\left(X,Y\right)\ \le\ z\right)\ =\ 1-P\left(\min\left(X,Y\right)\ >\ z\right)$

nun ist außerdem (versuche nachzuvollziehen wieso das der Fall ist)

$P\left(\min\left(X,Y\right)\ >z\right)\ =\ P\left(X\ >\ z,\ Y\ >\ z\right)$

also

$P\left(\min\left(X,Y\right)\ \le\ z\right)\ =\ 1\ -\ P\left(X\ >\ z,\ Y\ >\ z\right)$

nun setzen wir für Y = 1 - X ein und erhalten mit etwas Umformen und zusammenführen von Ungleichungen

$P\left(\min\left(X,1-X\right)\ \le\ z\right)\ =\ 1\ -\ P\left(z\ <\ X\ <\ 1-z\right)$

es folgt

$P\left(\min\left(X,1-X\right)\ \le\ z\right)\ =\ 1\ -\ \left(P\left(X\ <\ 1-z\right)\ -\ P\left(X\ \le\ z\right)\right)$

einsetzen ergibt

$P\left(\min\left(X,1-X\right)\ \le\ z\right)\ =\ 2z$

Bemerkung:

die eben gezeigte Gleichheit gilt nur für z <= 1/2

denn min(X, 1-X) kann niemals größer als 1/2 werden (mach dir klar wieso)

weshalb insbesondere gilt:

P(min(X,Y) <= z) = 1 für z >= 1/2

Damit ist die Verteilungsfunktion vollständig beschrieben.

Für deine letzten Anmerkung ist nach Definition

$P^X\left(A\right)\ =\ P\left(X^{-1}\left(A\right)\right)$

was ebenfalls ein W-Maß ist (induziert durch eine messbare Funktion, hier X).

Also ist insbesondere

$\left(P^X\right)^{^g\ }=P^X\left(g^{-1}\left(A\right)\right)\ =\ P\left(X^{-1}\left(g^{-1}\left(A\right)\right)\right)\ =\ P\left(\left(g\ \circ X\right)^{-1}\left(A\right)\right)\ =P^{g\ \circ X}$