Ungleichungen per Induktion lösen?

Hallo, ich bin schon wieder am Verzweifeln. Wir haben hier eine Art Hausaufgabe, mehr zum Üben und ich habe bereits versucht, zu googlen, bzw. auch viel rumprobiert aber es kommt einfach nichts gescheites bei rum. Weiß jemand, wie man diese Ungleichung hier löst? Die soll nicht einfach mit >=< Vergleichen gelöst werden, sondern eben mit vollständiger Induktion. Aber bei Ungleichungen steige ich einfach noch nicht dahinter. :/

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

[Rammstein53]

Es gilt: $a^x\ =\ e^{x\cdot\ln\left(a\right)}$ Daraus folgt: $(1+\frac{1}{n})^n=e^{\left((n\ \ \cdot\ \ln\left(\ 1\ +\ \frac{1}{n}\right)\right)}\ =\ e^{n\ \cdot\ \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)}$ Wegen $\lim\ n\ ->∞\ n\ \cdot\ \ln\left(\frac{n+1}{n}\ \right)\ =\ 0$ folgt $\lim\ n\ ->∞\ (\frac{n+1}{n})^{^n}\ =\ e^{0\ }\ <\ 3$

Comments

[Willy1729]

Das ist schon richtig. Blöderweise soll der Beweis aber über die vollständige Induktion erfolgen.

[Willy1729]

@Willy1729

Man könnte natürlich n+1 durch m substituieren, zeigen, daß (1+1/m)^m nicht größer als e werden kann, also kleiner als 3 ist.