Wie lautet die Umkehrung des Monotoniesatzes genau und warum kann sie nicht gelten??
Hey ihr Lieben,
ich habe im Internet nichts zur Begründung gefunden.
Ich habe das jetzt so gemacht:
f ist auf I streng monoton fallend, wenn auf I f'(x)<0 für alle x Element aus I gilt.
f ist streng monoton steigend, wenn auf I f'(x)>0 für alle x Element aus I gilt.
Aber wenn ich diese umgekehrte Regel anwende, dann stimmt sie ja eigentlich.
2 Antworten
Der Monotonie Satz besagt ja:
Sei f eine differenzierbare Funktion.
Ist f'(x)>0 für alle x dann ist f streng monoton Steigend.
Die Umkehrung lautet jedoch:
Ist f streng monoton steigend, so ist f'(x)>= 0 für alle x
Wichtig ist hier, dass da ein größer gleich hin muss, da z.b f(x)=x^3 streng monoton steigend ist, die Ableitung an der 0 jedoch 0 ist.
Beide Aussagen sind nur "wenn dann" Aussagen, sie sind also jeweils nur in eine Richtung gültig, die Rückrichtung (also z.b bei der ersten Aussage: Ist f streng monoton steigend, so ist f'(x)>0 für alle X) ist im allgemeinen falsch
In der Literatur steht aber überall, dass streng nur verwendet wird, wenn der zweite Funktionswert größer/kleiner sein muss. Sonst können sie gleich oder größer/kleiner sein-->monoton steigend/fallend
f(x) = x^3 ist streng monoton steigend, obwohl f'(0) = 0 ist.
Das Gleiche gilt doch auch für f(x)=x^5, oder? Es ist zwar streng monoton steigend, aber f'(0)=0.
Das heißt die korrigierte Umkehrung ist ,,Ist f streng monoton steigend, so ist f'(x)>= 0 für alle x", oder? Dann gehört ja das Wort ,,streng" wegen des größer gleich Zeichens gar nicht dahin, oder?