Trigonometrische Funktionen?

Hallo, könnte mir jemand bei diese Aufgabe helfen, ich weiß nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

[ProfFrink]

Eine wirklich nicht leichte Aufgabe. Alles fängt damit an, dass Du Dir eine trigonometrische Funktion aussuchst, die einigermaßen passt. Sie soll am Anfang ein Maximum haben und nach einer halben Periode ihr Minimum. Das wäre die Cosinusfunktion. Das Maximum tritt am 4. Januar um 8:00 auf. Das folgende Minimum am nächsten Tag um 15:00 Uhr. Wir haben somit eine Halbperiode von 31 Stunden. Blöd nur, dass wir bei einem Funktionsargument in der Einheit Stunden um 0:00 Uhr einen Tagesübertrag berücksichtigen müssen. Ich mache folgenden Ansatz

$y=A+B\cdot\cos\left(k\cdot\left[24\cdot d+h+c\right]\right)$ d ist der Tageszähler. Für den 4. Januar soll hier die 4 eingegeben werden.

h ist der Stundenzähler. Für 8:00 Uhr wird hier die 8 eingegeben. Die Konstanten c und k sollen nun aus den bekannten Bedingungen berechnet werden.

Am 4. Januar um 8:00 Uhr soll das Maximum erscheinen. Dafür muss das Argument des Cosinus den Wert 0 annehmen.

$k\cdot\left(24\cdot4+8+c\right)=0$ k darf nicht null werden. Somit gewinnen wir

$c=-104$ Das Minimum erreicht der Cosinus mit dem Argument pi. Es muss am 5. Januar um 15:00 Uhr erreicht werden. Es gilt

$k\cdot\left(24\cdot5+15-104\right)=\pi$ Daraus folgt

$k=\frac{\pi}{31}$ Wir gewinnen die vorläufige Lösungsfunktion

$y=A+B\cdot\cos\left(\pi\cdot\frac{24\cdot d+h-104}{31}\right)$ Die Cosinusfunktion erreicht den Maximalwert +1 und den Minimalwert -1. Daraus lassen sich die Bestimmungsgleichungen für A und B herleiten.

$A+B=6,07$ $A-B=5,48$ Die Ausrechnung ergibt dann die Fertigfunktion

$y=5,775+0,295\cdot\cos\left(\pi\cdot\frac{24\cdot d+h-104}{31}\right)$ Die graphische Realisierung ist hier wiedergegeben.

Woher ich das weiß: Hobby