Textaufgabe?
Ich ging die laufende Rolltreppe zum 1. Obergeschoss entgegen deren Laufrichtung nach oben. Beiläufig zählte ich dabei 60 Stufen.
Nach dem Einkaufen ging ich die gleiche, laufende Treppe im gleichen Tempo hinab und zählte dabei nur noch 40 Stufen.
Wie viele Stufen hätte ich nach oben oder nach unten steigen müssen, wenn die Rolltreppe still gestanden hätte ?
5 Antworten
Man nutzt hier das harmonische Mittel,
2 / ( 1/40 + 1/60 ) = 48
Die Rolltreppe bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, du auch. Pro Stufe, die du zurücklegst, legt also die Rolltreppe eine konstante Anzahl von Stufen zurück, einmal in die gleiche Richtung, einmal in die andere. Diese konstante Anzahl von Stufen der Rolltreppenbewegung je von dir zurückgelegter Stufe nenne ich a. Die Gesamtzahl der Stufen nenne ich S.
Auf dem Hinweg kann ich S so berechnen:
60 Stufen lege ich selber zurück. Die Rolltreppe bewegt sich in dieser Zeit um 60*a Stufen in die Gegenrichtung. Also ist
S = 60 - 60 * a.
Auf dem Rückweg kann ich S so berechnen:
40 Stufen lege ich selber zurück. Die Rolltreppe bewegt sich in dieser Zeit um 40 * a Stufen in die selbe Richtung, also ist
S = 40 + 40 * a.
Das kann ich jetzt gleichsetzen:
60 - 60a = 40 + 40a.
Nach a aufgelöst ergibt das a = 1/5, d. h. jedesmal, wenn ich eine Stufe weit gehe, bewegt sich die Rolltreppe um eine Fünftel Stufe. Das kann ich jetzt in eine meiner beiden Gleichungen für S einsetzen:
S = 60 - 60 * 1/5 = 48.
Und wenn du die beiden Gleichungen stattdessen nach a auflöst und dann gleichsetzt, dann siehst du, warum man dafür auch das harmonische Mittel benutzen kann, wie eterneladam es gemacht hat.
Die Anzahl der Stufen ist quasi die Zeit t die du benötigst, da du ja in beiden Fällen gleich viele Stufen pro Zeit zurücklegst.
v1 ... deine Geschwindigkeit gegenüber der Treppe
v0 ... Geschwindigkeit der Treppe gegenüber Kaufhaus
Also mit Strecke gemessen gegenüber Kaufhaus:
Strecke - runter = Strecke - rauf:
Wenn die Treppe steht muss gelten:
Angenommen die Treppe verfügt über n Stufen und steht still. Dann müsste der Nutzer n Stufen nach oben und n Stufen nach unten gehen. Dafür benötigt er die Zeit t. Der Nutzer hat damit die konstante Geschwindigkeit vNutzer = n/t [Stufen/Zeit].
Angenommen die Treppe bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit vTreppe = m/t [Stufen/Zeit].
Wege nach unten werden negativ betrachtet, Wege nach oben positiv. Dann gilt:
(a) Nutzer geht nach oben: -vTreppe * t1 + vNutzer * t1 = n
(b) Nutzer geht nach unten: -vTreppe * t2 - vNutzer * t2 = -n
Man muss zwei verschiedene Zeiten ansetzen, weil der Weg nach oben länger dauert als nach unten. Weiter gilt aus der relativen Sicht des Nutzers :
(c) vNutzer * t1 = 60 --> t1 = 60*t/n
(d) vNutzer * t2 = 40 --> t2 = 40*t/n
t1 und t2 in (a) und (b) einsetzen:
(a) -vTreppe * (60*t/n) + vNutzer * (60*t/n) = n
(b) -vTreppe * (40*t/n) - vNutzer * (40*t/n) = -n
vTreppe und vNutzer in (a) und (b) einsetzen:
(a) -(m/t) * (60*t/n) + (n/t) * (60*t/n) = n
(b) -(m/t) * (40*t/n) - (n/t) * (40*t/n) = -n
Die Variable t fällt raus, und es ergibt sich n = 48, m = 48/5
Klingt nach einer klassischen Mathe-Knobelaufgabe! 😄 Die Geschwindigkeit der Rolltreppe spielt hier eine Rolle. Wenn du bergauf mehr Stufen gezählt hast als bergab, bewegt sich die Rolltreppe mit einer bestimmten Geschwindigkeit nach unten.
Die Lösung steckt in einer Gleichung, die die Stufen pro Sekunde mit der Rolltreppenbewegung kombiniert. Hast du schon versucht, das auszurechnen? 😊
Ich hatte bis jetzt leider 0 Ansatz wie ich das Berechnen soll.