Term einer Zahlenfolge
Thema ist x-beliebig zu Würfelbauten
Aufgabe: Anzahl Glieder 1 2 3 4 Zahlenfolge 3 9 18 30 dazu wird der Term gesucht
Könnte ihr mir erklären, wie ich bei unregelmässigem Wachstum zur Term komme?
Wie kann ich den Check mit Quadratzahlen durchführen? Danke für eure Hilfe !
4 Antworten
Ich würde ein Gleichungssystem aufstellen, die gesuchte Funktion hat die allgemeine Form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, gesucht sind a,b,c und d und f(1)=3, f(2)=9, f(3)=18 und f(4)=30, ergibt ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten, Lösung: a=d=0, b=c=3/2
Mir ist folgendes aufgefallen
n=1 => N1=3=3n
n=2 => N2=9=N1+6=N1+2 * 3=N1+3n
n=3 => N3=18=N2+9=N2+3n
n=4 => N4=20=N3+12=N3+3n
... dann wird das wohl eine Parabel sein (wie auch Walto schreibt):
f(n) = an² +bn +c. Also:
3n = f(n) - f(n-1); (1)
an² +bn +c - a(n-1)² -b(n-1) -c =
an² +bn -an² +2an -a -bn +b =
+2an -a +b;
das gilt für alle n genau dann, wenn:
2a = 3 ⇒ a = 3/2 und
-a +b = 0 ⇒ b = 3/2;
jetzt braucht nur noch c so bestimmt zu werden, dass das erste Glied "passt":
3 = f(1) = 3/2 * 1² +3/2 * 1 + c ⇒ c = 0, (2) also
f(n) = (3n² +3n ) / 2 , in Übereinstimmung mit helmut70.
Der "Witz" daran ist, dass in die Herleitung der Beweis durch vollständige Induktion schon gleich eingebaut ist, denn (2) ist ein Induktionsanfang, und (1) ist ein Induktionsschritt.
Hallo, hier kannst du ein sog. Differenzenshema erstellen.
Jede Folgezeile enthält die Differenzen zweier Glieder der Vorgängerzeile:
3 9 18 30
6 9 12
3 3
Die Konstante 3 in der letzten Zeile sagt, das die Werte auf einer Parabel liegen.
Das funktioniert nur bei sog. äquidistanten Reihen, das sind Reihen, bei denen zwischen 2 Gliedern auf der x-Achse immer derselbe Unterschied auftritt, was bei deinen x-Werten (1;2;3;4) sicher der Fall ist.
Meine Formel:
3n(n+1)/2
Gruß, Helmut