Summieren?

Hallo zusammen,

Ich bin soweit das ich (-2) + (-1) + 0 + 1 gerechnet habe das wäre (-2). Laut der Lösung geht die Schleifer aber weiter.. was für mich aber keinen Sinn macht, da ich in beiden Summanden auf 1 gekommen bin. Bin noch relativ frisch in dem Thema villeicht kann mich jemand aufklären, Vielen dank im voraus! Hier noch ein kleiner Ausschnitt der Lösung:

Answer 1

[mihisu]

Kannst du genauer beschreiben, wie du auf (-2) + (-1) + 0 + 1 gekommen bist? Für mich sieht das so aus, also ob du nur i = 1 berücksichtigt hast und da für j die Werte {-2, -1, 0, 1} durchgegangen bist. Aber dann hast du doch die Summanden mit i = 0 und mit i = -1 vernachlässigt! [Ok, für i = 0 ergeben sich sowieso nur 0 als Summanden. Das kann man tatsächlich weglassen. Aber für i = -1 erhält man in Summe nochmal -2 zu deinem -2 hinzu, was dann -4 ergibt.]

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Zur Erläuterung der Lösung...

Wie würdest du

$\sum\limits_{i=-1}^{1}a_i=a_{-1}+a_0+a_1$

ausschreiben? Das würde man offensichtlich

$\sum\limits_{i=-1}^{1}a_i=a_{-1}+a_0+a_1$

erhalten.

Und das hat man im konkreten Fall, wenn man

$a_i=\sum\limits_{j=-2}^{1}i^2\cdot j$

definiert. Dann erhält man...

$\sum\limits_{i=-1}^{1}\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}i^2\cdot j}_{a_i}=\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}\left(-1\right)^2\cdot j}_{a_{-1}}+\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}0^2\cdot j}_{a_0}+\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}1^2\cdot j}_{a_1}$

Und weiter erhält man dann für die einzelnen Teilsummen...

$a_{-1}=\sum\limits_{j=-2}^{1}\left(-1\right)^2\cdot j=\sum\limits_{j=-2}^{1}1\cdot j=\sum\limits_{j=-2}^{1}j=\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1$

$a_{0}=\sum\limits_{j=-2}^{1}0^2\cdot j=\sum\limits_{j=-2}^{1}0\cdot j=\sum\limits_{j=-2}^{1}0=0+0+0+0=0$

$a_{1}=\sum\limits_{j=-2}^{1}1^2\cdot j=\sum\limits_{j=-2}^{1}1\cdot j=\sum\limits_{j=-2}^{1}j=\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1$

Und damit dann insgesamt...

$\sum\limits_{i=-1}^{1}\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}i^2\cdot j}_{a_i}=\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}\left(-1\right)^2\cdot j}_{a_{-1}}+\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}0^2\cdot j}_{a_0}+\underbrace{\sum\limits_{j=-2}^{1}1^2\cdot j}_{a_1}$

$=\underbrace{\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1}_{a_{-1}}+\underbrace{0}_{a_0}+\underbrace{\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1}_{a_1}$

$=-4$

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Alternativ kannst du dir auch denken...
Ich muss bei i² ⋅ j für alle Fälle mit i ∈ {-1, 0, 1} und j ∈ {-2, -1, 0, 1} durchgehen und das alles dann aufsummieren.

$\overbrace{\overbrace{\left(-1\right)^2\cdot \left(-2\right)}^{\text{und }j = -2}+\overbrace{\left(-1\right)^2\cdot \left(-1\right)}^{\text{und }j = -1}+\overbrace{\left(-1\right)^2\cdot 0}^{\text{und }j = 0}+\overbrace{\left(-1\right)^2\cdot 1}^{\text{und }j = 1}}^{\text{für }i=-1}$ $+\,\overbrace{\overbrace{0^2\cdot \left(-2\right)}^{\text{und }j = -2}+\overbrace{0^2\cdot \left(-1\right)}^{\text{und }j = -1}+\overbrace{0^2\cdot 0}^{\text{und }j = 0}+\overbrace{0^2\cdot 1}^{\text{und }j = 1}}^{\text{für }i=0}$ $+\,\overbrace{\overbrace{1^2\cdot \left(-2\right)}^{\text{und }j = -2}+\overbrace{1^2\cdot \left(-1\right)}^{\text{und }j = -1}+\overbrace{1^2\cdot 0}^{\text{und }j = 0}+\overbrace{1^2\cdot 1}^{\text{und }j = 1}}^{\text{für }i=1}$

$=\overbrace{\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1}^{\text{für }i=-1}+\overbrace{0+0+0+0}^{\text{für }i=0}+\overbrace{\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1}^{\text{für }i=1}$

$=-4$