Stochastisch unabhängig?
Kann mir jemand bei der Aufgabe 5 helfen? Ich verstehe es nicht ganz.
1 Antwort
Wenn in diesem Fall mit unabhängig die stochastische Unabhängigkeit gemeint ist, kommen wir auf folgendes:
Wir definieren
- A := "Keramikteil hat Farbfehler"
- O := "Keramikteil hat Formfehler"
dann gilt
- P(A) = 0.08
- P(A∩O) = P(A)•P(O)
- 0.10 = P(A∩Ō)+P(O∩Ā)+P(A∩O)
und das ist ein Gleichungssystem, das zu lösen gilt. Zuerst können wir die letzte Gleichung etwas umschreiben, indem wir die stochastische Unabhängigkeit ausnutzen
0.10 = P(A)•P(Ō)+P(O)•P(Ā)+P(A)•P(O)
und die Definition der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignises benutzen: P(Ē)=1–P(E).
0.10 = P(A)•(1–P(O))+P(O)•(1–P(A))+P(A)•P(O)
Jetzt setzen wir die erste Gleichung hier ein und lösen die Klammern auf, um nach P(O) umzuformen.
0.10 = 0.08•(1–P(O))+P(O)•(1–0.08)+0.08•P(O)
0.10 = 0.08–0.08•P(O)+P(O)–0.08•P(O)+0.08•P(O)
0.10 = 0.08–0.08•P(O)+P(O)
0.10 = 0.08+(1–0.08)•P(O) |–0.08
0.02 = 0.92•P(O) |:0.92
1/46 = P(O)
Da wir diese Gleichung und die erste haben, können wir sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit nur einer dieser Fehler auftritt. Das sind nämlich die aus der Aufgabenstellung genannten 10 %, wobei wir noch die Wahrscheinlichkeit abziehen müssen, dass beide Fehler - also P(A∩O) - auftreten.
P(A∩O) erhalten wir, wenn wir unsere erste Gleichung und die zuletzt berechnete aus der dritten in die zweite Gleichung einsetzen.
P(A∩O) = P(A)•P(O)
P(A∩O) = 0.08•1/46
P(A∩O) = 1/575
Diesen Wert ziehen wir von den 10 % ab und wir kommen auf unser Ergebnis
0.10 – 1/575 = 113/1150 ≈ 9.826 %.
Puh.. fertig. Bitteschön :)
Super!
Vielleicht interessant für den Fragesteller:
Statt
0.10 = P(A)•P(Ō)+P(O)•P(Ā)+P(A)•P(O)
könnte man auch die Additionsregel verwenden :
0.10 = P(A U O) = P(A) + P(O) - P(A)•P(O)