Aufgabe zur stochastischen Unabhängigkeit?

Hallo ich verstehe nicht wie ich folgende Aufgabe lösen kann, danke schon mal:

Frau Müller und Frau Schmidt gehen beide am Dienstag ins Fitness-Studio, Frau Müller zu 80% und Frau Schmidt zu 60%. In 10% aller Fälle sind beide dienstags nicht im Studio.

a) Untersuche, ob das Nicht-Erscheinen der beiden Damen stochastisch unabhängig ist.

b) Übertrage die Daten in eine Vierfeldertafel und lies daran ab, mit welcher Wahrscheinlichkeit beide Damen im Studio sind.

Answer 1

[TBDRM]

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide nicht ins Studio gehen, liegt bei 10 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fr. Müller dienstags in Studio geht, liegt bei 80 %; Sie geht also mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % nicht ins Studio. Bei Fr. Schmidt liegt die Wahrscheinlichkeit, ins Studio zu gehen, bei 60 %; Sie geht also mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % nicht ins Studio.

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass Fr. Müller nicht ins Studio geht unter der Bedinung, dass Fr. Schmidt nicht ins Studio geht, bei (10 %) / (40 %) = 25 %. Andersrum wären es (10 %) / (20 %) = 50 %.

In beiden Fällen (einer hätte gereicht) ist die Wahrscheinlichkeit ungleich 20 % bzw. 40 %. Die Ereignisse sind also nicht stochastisch unabhängig (denn dann hätte im ersten Fall 20 % und im zweiten 40 % rauskommen müssen).

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[mihisu]

$M:\quad \text{Frau Müller geht am Dienstag ins Fitness-Studio}$

$\overline{M}:\quad \text{Frau Müller geht am Dienstag nicht ins Fitness-Studio}$

$S:\quad \text{Frau Schmidt geht am Dienstag ins Fitness-Studio}$

$\overline{S}:\quad \text{Frau Schmidt geht am Dienstag nicht ins Fitness-Studio}$

Gegeben:

$P(M)=0\text{,}80$

$P(S)=0\text{,}60$

$P(\overline{M}\cap\overline{S})=0\text{,}10$

============

a)

Geprüft werden soll, ob die beiden Ereignisse

$\overline{M}\text{ und }\overline{S}$

stochastisch unabhängig sind, also ob

$P(\overline{M}\cap\overline{S})=P(\overline{M})\cdot P(\overline{S})$

gilt.

$P(\overline{M})\cdot P(\overline{S})=\left(1-P(M)\right)\cdot \left(1-P(S)\right)$ $=\underbrace{\left(1-0\text{,}80\right)}_{=0\text{,}20}\cdot\underbrace{\left(1-0\text{,}60\right)}_{=0\text{,40}}=0\text{,}08$ $\ne 0\text{,}10=P(\overline{M}\cap\overline{S})$

Ergebnis: Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.

============

b)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,50 bzw. 50 % sind beide Damen am Dienstag im Fitness-Studio.