stetigkeit von x^2cos(1/x)?

Wir sollen beweisen das:

$f\left(x\right)\ =\ x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)\ ;\ f\left(0\right)=0$ stetig ist.

Wir kommen einfach nicht weiter. Kann uns jemand vllt einen Ansatz geben?

Answer 1

[physikfrage1]

Du musst zeigen, dass lim y->x f(y) = f(x) für alle x gilt. Für x ≠ 0 ist die Sache klar, weil dort f als Produkt und Verkettungen stetiger Funktionen vorliegt, also musst du nur den Fall x=0 überprüfen, also zeigen dass lim x->0 f(x) = 0 ist, und das ist einfach so weil x² gegen 0 geht und cos beschränkt ist, also geht das im Limit gegen 0, Stichwort Sandwich Lemma mit unterer Schranke -x² und oberer Schranke x²

Answer 2

[PhotonX]

Spontan würde mir einfallen y=1/x zu substituieren und dann y gegen +oo und -oo zu schicken (entsprechend x->0+ und x->0-). Der Grenzwert lässt sich dann leicht mit l'Hôpital berechnen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik