Ein sigma male würde zb garnicht auf Toilette gehen sondern sich einfach in die Hose machen damit er keine Zeit verschwendet und weiter grinden kann 💪💯

Wenn f^-1 injektiv ist, dann gibt es für jedes y € B ein eindeutiges Urbild x € A bzgl. f, denn: Es gilt f^-1({}) = {}, wenn es nun irgendein y € 2^B gibt, sd. f^-1(y) = {}, dann wäre wegen der Injektivität schon y = {}. Wenn y € B, dann ist also {y} ≠.{}, und somit f^-1({y}) ≠ {}. Somit gibt es für jedes y € B ein x € 2^B mit x ≠ {} und f(x) = y, somit darf man (mit der Annahme dass das Auswahlaxiom gilt) ein Element a aus x wählen, und hat dann eben f(a) = y, wir können also für alle y € B ein a € A finden sd. f(a) = y, also genau die Definition von Surjektivität.

Für das zweite: Seien x,y € A sd. f(x) = b = f(y), somit f^-1({b}) ⊇ {x,y}. Dadurch, dass f^-1 surjektiv ist, gibt es jetzt Elemente c,d € 2^B, sd. f^-1(c) = {x} und f^-1(d) = {y} gilt. Es gilt auch c,d ≠ {}, weil x und y ja auf irgendwas abgebildet werden müssen. Aber da f(x) = b = f(y) gilt, muss schon b in c und d enthalten sein, damit bekommt man {x} = f^-1(c) ⊇ f^-1({b}) ⊇ {x,y}, was offensichtlich nur dann erfüllt ist, wenn x = y gilt, was also Injektivitiät impliziert

Du musst zeigen, dass lim y->x f(y) = f(x) für alle x gilt. Für x ≠ 0 ist die Sache klar, weil dort f als Produkt und Verkettungen stetiger Funktionen vorliegt, also musst du nur den Fall x=0 überprüfen, also zeigen dass lim x->0 f(x) = 0 ist, und das ist einfach so weil x² gegen 0 geht und cos beschränkt ist, also geht das im Limit gegen 0, Stichwort Sandwich Lemma mit unterer Schranke -x² und oberer Schranke x²

Du willst also mit anderen Worten einfach zeigen, dass der cosinus diffbar ist? Da gibts online bisschen was zu. Die Idee ist dass man cos(x+h) durch ein Additionstheorem ausdrücken kann, dann kann man den Quotienten bisschen aufteilen und in zwei einzelne limits aufspalten, diese müsste man dann aber zunächst berechnen

Die Vektoren sehen auf jeden Fall richtig aus. Den Normierungsfaktor sollte man dann wahrscheinlich mit in den Vektor ziehen, damit die Vektoren auch wirklich Orthonormal und nicht nur Orthogonal sind

Du musst Kriegsverbrechen in Balkan-Staaten begehen