Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
Aufgabe 10:
Ich brauche Hilfe, da ich zuvor noch nie Parameter hatte und mir bis jetzt das Internet und andere Informationsquellen nichts beigebracht haben.
LG
1 Antwort
Hallo,
es geht darum, die Nahtstelle zu untersuchen, an der beide Funktionen zusammentreffen. Bei der Aufgabe 10 a) ist das die Stelle x=3, denn für alle x, die größer oder gleich 3 sind, lautet die Funktion f(x)=x+2, für alle x, die kleiner als 3, aber größer oder gleich -3 sind, lautet sie dagegen f(x)=x²+t.
Wenn die beiden Funktionen an der Nahtstelle keine Lücke bilden sollen, mußt Du sehen, was passiert, wenn Du x=3 in die erste Funktion eingibst, also in f(x)=x+2.
Da kommt als Funktionswert natürlich 5 heraus.
Nun mußt Du t so anpassen, daß auch die zweite Funktion, also f(x)=x²+t als Funktionswert 5 ergibt, wenn Du für x eine 3 einsetzt.
Da 3²=9, muß für t -4 gewählt werden, dann paßt es.
f(3)=3²-4=9-4=5.
Beide Funktionen stoßen also am Punkt (3|5) zusammen.
Die Frage nach der Differenzierbarkeit an dieser Stelle ist die Frage danach, ob sie auch knickfrei verläuft - das ist dann der Fall, wenn für x=3 auch die Ableitungen der beiden Funktionen übereinstimmen.
Die Ableitung der ersten Funktion lautet f'(x)=1.
Die Ableitung der zweiten Funktion lautet f'(x)=2x.
Du siehst schon: Wenn Du hier für x eine 3 einsetzt, kommt 6 heraus.
Wenn Du Dich der Stelle x=3 also von links näherst, geht die Steigung dort gegen 6; näherst Du Dich dagegen von rechts, hast Du eine Steigung von 1.
Die Steigung wechselt also abrupt von 6 auf 1 - und das bedeutet, daß ein Knick vorliegt und die Funktion an dieser Stelle eben nicht differenzierbar ist. Eine Tangente, die an dieser Stelle angelegt würde, könnte sich dort wie eine Kinderwippe hin und herkippen lassen.
Genauso gehst Du auch bei Aufgabe b) vor. Hier untersuchst Du die Funktion an der Stelle x=t.
Viel Erfolg,
Willy
Weil die beiden Funktionen bei x=3 zusammenstoßen.
Hier hört für die eine der Definitionsbereich auf, während er für die andere beginnt.
Die beiden Funktionen selbst sind ansonsten über ihrem ganzen Definitionsbereich stetig und differenzierbar. Interessant ist nur die Nahtstelle.
Hey erstmal vielen Dank für den Rechenweg, ich wollte lediglich nachfragen weswegen wir x=3 einsetzen müssen. Dort steht zwar damit keine Lücke entsteht,jedoch verstehe ich nicht ganz wie es zustande kommt
LG :)