Steigungen erklären grafisch / mathematisch?
Wie genau kann ich das grafisch und mathematisch erklären? Die tangente ist ja die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle
2 Antworten
Die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle a ist identisch mit der Steigung der Funktions-Tangente an der Stelle a.
Die allgemeine Geradengleichung mit der Steigung m lautet:
g(x) = m*x + b
Die allgemeine Funktions-Tangente der Funktion f(x) an der Stelle a ist gegeben durch:
t(x) = f'(a)*(x-a) + f(a)
t(x) = f'(a)*x - f'(a)*a + f(a)
Somit ist die Steigung der Funktions-Tangente identisch mit f'(a), denn m = f'(a). Der Term - f'(a)*a + f(a) entspricht der Konstanten b in der allgemeinen Geradengleichung.
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Beispiel anhand der Aufgabe:
f(x) = 1/3 * x³ - 2*x² + 5
f'(x) = x² - 4*x
Tangente an der Stelle a = -1:
t(x) = f'(-1) * (x+1) + f(-1)
t(x) = f'(-1) * x + f'(-1) * 1 + f(-1)
Es gilt:
f(-1) = 8/3
f'(-1) = 5
In t(x) einsetzen:
t(x) = 5*x + 5 + 8/3 = 5*x + 23/3

Habe meine Antwort ergänzt. Hoffe, dass es damit verständlicher wird.
Ich nehme an die wollen, dass du die Geraden-Gleichung der Tangente mit Hilfe der gegebenen Stelle und der berechneten Steigung an der Stelle aufstellst und dann die Tangente einzeichnest (und vielleicht ein Steigungsdreieck).
Dann kann man sehen, dass es sowohl graphisch richtig aussieht, als auch, dass mathematisch die Steigung übereinstimmt.
Finde die Aufgabe aber auch alles andere als eindeutig formuliert.
Ein Hinweis: Die Tangente ist nicht die Steigung an der Stelle sondern die Tangente hat die Steigung die die andere Funktion an der Stelle hat. Die Tangente ist eine Gerade, die den Graph an einer Stelle berührt, an der der Graph die gleiche Steigung hat wie die Gerade.
Aufzustellen mit Hilfe von t: y = m * x + b.
x ist die gegebene Stelle, m und b kannst du mit Hilfe der Funktionsgleichung Aufstellen, da du ja weist, dass die Gerade an dieser Stelle die Funktionsgleichung berührt. Das bedeutet, dass die Gerade an dieser Stelle x das gleiche y hat. Wenn du dann y, m und x kennst kannst du damit das fehlende b berechnen.
Kann ich das also so als Erklärung machen? Ich muss das anhand meiner Grafik im Taschenrechner erklären