Stammfunktion von 4^x?

Hallo ich verzweifle gerade an der unteren Integralrechnung.

Ich habe keine Ahnung wie ich 4^x (4hochx) aufleiten soll. Benutze ich da ln oder wie soll das gehen ?

Answer 1

[Willibergi]

Generell gilt:

$\int a^{x\ }dx\ =\frac{a^x}{\ln\left(a\right)}$

Das ist folgendermaßen zu erklären:

$x\ =\ e^{^{\ln\left(x\right)}}$

und damit können wir den zu integrierenden Term umschreiben:

$a^x=e^{\ln\left(a^x\right)}=e^{x\ln\left(a\right)}$

Leiten wir das ab, erhalten wir:

$\frac{d}{dx}\left(e^{x\ln\left(a\right)}\right)=e^{x\ln\left(a\right)}\cdot\ln\left(a\right)=e^{\ln\left(a^x\right)}\cdot\ln\left(a\right)=a^x\cdot\ln\left(a\right)$

Daher müssen wir beim Integrieren den Faktor

$\frac{1}{\ln\left(a\right)}$ hinzufügen.

Bedeutet also letztlich für Dein Integral:

$\int_{-1}^24^x-3\ dx\ =\ \left[\frac{4^x}{\ln\left(4\right)}-3x+c\right]_{-1}^2$

Der Rest sollte dann klar sein - Stammfunktion der oberen Grenze minus die der untere. Grenze. Heraus kommt

$\frac{-36\ln\left(4\right)-63}{4\ln\left(4\right)}$

also etwa 2,36.

LG

Answer 2

[berndao2]

ich garantiere für nichtsm, aber was ich mal sagen würde:
4^x=e^(ln(4^x))
=e^(x*ln(4))

würdest du das ableiten bekämst du laut kettenregel:
ln(4)*e^(x*ln(4))
=ln(4)*4^x

demnach müsste das integral von 4^x dann

(1/ln(4))*4^x sein.

kurze probe:
Ableitung von (1/ln(4))*4^x ist

(1/ln(4)) * (ln(4)*4^x)

=4^x

ergo müsste (1/ln(4))*4^x die stammfunktion von 4^x sein

bzw. allgemein gesprochen sollte für a ungleich 0 die stammfunktion von a^x dann

ln(a)*a^x sein.

die -3 zu integrieren dürfte auch kein problem sein. :-)

Comments

[Applwind]

bzw. allgemein gesprochen sollte für a ungleich 0 die stammfunktion von a^x dann

ln(a)*a^x sein."

Die Stammfunktion von a^x ist a^x * 1/In(a) + C

[berndao2]

@Applwind

ne konstante passt natürlich immer noch hintendran :-D

Answer 3

[Applwind]

Es gilt :

$e^{In\left(x\right)\ ^{ }}=x$

also:

$\int4^xdx\ =\int e^{In\left(4^x\right)\ }dx\ =\int e^{In\left(4\right)\cdot x^{ }}dx\ =\frac{e^{In\left(4^x\right)}}{In\left(4\right)}+C\ =\frac{4^x}{In\left(4\right)}$ +C

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.