SRT Theorie, Laufband & Blitzeinschlag?
Hallo, ich würde gerne wissen ob meine mathematische Vorgehensweise die richtige ist:
Das Problem liegt auf der Seite unter der Überschrift Addition von Geschwindigkeiten, wo mathematisch gezeigt wird, dass u = c ist. Dabei frage ich mich ob man auch so vorgeht, wie ich es getan habe, oder es einen schnelleren Weg gibt. Unten ist meine Rechnung. Für den ein oder anderen mag meine Frage trivial erscheinen, allerdings möchte ich nur sichergehen.
2 Antworten
Hallo SD126,
das berühmte Additionstheorem
(1) u = (v + u')/(1 + vu') *)
ist folgt daraus, dass sich ein Teilchen, das sich relativ zu einem Körper B, d.h., in einem von B aus definierten raumzeitlichen Koordinatensystem Σ, mit u' = c bewegt, automatisch auch relativ zu einem relativ zu B mit der 1D-Geschwindigkeit (in x-Richtung von Σ) v bewegten Körper B', also in einem von B' aus definierten Koordinatensystem Σ', mit u = c bewegen muss – und umgekehrt.
Warum ist nicht einfach u=u'⁄γ²?Die SRT wird oft stark verkürzt dargestellt: Man spricht von "Zeitdilatation" um den Faktor
(2) γ := 1/√(1 − v²),
d.h., ein Vorgang, der in Σ' eine bestimmte Zeit Δt' dauert, in Σ um den Faktor γ länger dauere, d.h. Δt' = γΔt. Außerdem ist von der "Längenkontraktion" die Rede, die aussagt, ein Maßstab, der in Σ' die Länge Δx' habe, in Σ nur die Länge Δx = Δx'⁄γ.
Man könnte damit auf die Idee kommen, es sei z.B. einfach u = u'/γ², da das Teilchen in einer um den Faktor γ längeren Zeitspanne einen um 1/γ kürzeren Weg zurücklege.
Das ist natürlich Quatsch, weil diese Aussage nicht einmal die Bewegung von B' relativ zu B berücksichtigt, aber man könnte noch immer auf die Idee kommen, es sei so etwas wie (v + u')(1 − v²), was aber keinen Sinn ergibt: Setzt man u' = c bzw. 1, kommt eben nicht 1 raus.
Der Witz an der Sache ist, dass man nicht einfach "Zeitdilatation" und "Längenkontraktion" anwenden kann, sondern die LORENTZ- Transformation
(3.1) Δt = (Δt' + vΔx')/(1 − v²) *)
(3.2) Δx = (Δx' + vΔt')/(1 − v²) *)
anwenden muss, eine Art hyperbolische Drehung in der Raumzeit. Dabei sind Δx und Δx' die in einem von einem Koordinatensystem Σ während der Zeitspanne Δt bzw. Δt' vom Körper oder Teilchen zurückgelegte Strecke.
Daher ist Δx' = u'Δt', also
(3.3) Δt = Δt'(1 + vu')/√(1 − v²)
(3.4) Δx = Δt'(u' + v)/√(1 − v²).
Mit u = Δx⁄Δt ergibt sich (1). Die LORENTZ- Transformation ist eine Art Drehung in der Raumzeit, genauer eine hyperbolische Drehung.
Eine räumliche Drehung, die zwischen den räumlichen Koordinatensystemen S und S° umrechnet, lässt das EUKLIDische Abstandsquadrat (PYTHAGORAS lässt grüßen)
(4) Δs² = Δz² + Δx² ≡ Δz°² + Δx°²
zwischen zwei Punkten in der z-x-Ebene invariant (unverändert).
Im Unterschied dazu lässt die LORENTZ- Transformation, die zwischen zwei Koordinatensystemen Σ und Σ' umrechnet, das MINKOWSKI- Abstandsquadrat
(5.1) Δτ² = Δt² − Δx² ≡ Δt'² − Δx'²
bzw.
(5.2) Δς² = Δx² − Δt² ≡ Δx'² − Δt'²
zwischen zwei Ereignissen der t-x-Ebene der Raumzeit invariant. Das Minuszeichen sorgt dafür, dass Δτ² positiv, 0 oder negativ sein kann; und Δς² = −Δτ² (in konventionellen Einheiten Δς² = −c²Δτ²).
- Ereignisse mit Δτ²>0 heißen zeitartig getrennt; das bedeutet, es gibt Koordinatensysteme, in denen sie gleichortig sind, d.h., im zeitlichen Abstrakt Abstand Δτ, der Eigenzeit, nacheinander am selben Ort stattfinden.
- Ereignisse mit Δτ²=0 heißen lichtartig getrennt. Das sind zum Beispiel die Absendung eines Signals an einem und sein Empfang an einem anderen Ort.
- Ereignisse mit Δτ²<0 heißen raumartig getrennt, d.h., es gibt Koordinatensysteme, in denen sie im Abstand Δς zur selben Zeit stattfinden. Deshalb könnte man Δς als den Gleichzeitigkeitsabstand bezeichnen.
Abb. 1: Vergleich der räumlichen z-x-Ebene mit der raumzeitlichen t-x-Ebene
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*) In Natürlichen Einheiten, wo Strecken und Zeitspannen in derselben Maßeinheit angegeben werden, ist c=1, eine (Licht-)Sekunde pro Sekunde.
besser noch wenn du für v gar nicht erst einsetzt. dann zeigst du es allgemein für jede geschwindigkeit v.
Danke für die ausführliche Antwort. Du bist mir hier schön öfters aufgefallen. Dürfte ich fragen, ob du Ratschläge bezüglich des Lernens der Physik hättest? Ich mache das ganze in meiner Freizeit, da ich noch zur Schule gehe.
Viel mehr möchte ich darauf hinaus, ob du bestimmte Bücher empfehlen würdest. Nicht zu vergessen, bin ich aber in gewisser Hinsicht noch Anfänger, wodurch mir manches Grundwissen auch noch fehlt (welches ich aber auf jeden Fall erlernen möchte).