Potenzrechnen Hilfe?

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5 Antworten

Erstmal musst du die Funktionsgleichung aufstellen, die dir die Anzahl der Keime in Abhängigkeit von der Zeit angibt.

Das wird wohl im Allgemeinen so aussehen: f(t) = a*b^t

Nun weißt du, dass f(0) = 700, also f(0) = a*b^0 = a = 700 und daraus folgt schonmal

f(t) = 700*b^t, wobei t die Zeit in Stunden angibt.

Nun weißt du aber auch, dass f(0,5) = 1400, da die sich ja halbstündig verdoppeln.

Also f(0,5) = 700*b^0,5  = 1400  | : 700

                         b^0,5 = 2  | ^2

                         b = 4

Also: f(t) = 700 * 4^t, was auch Sinn macht, da es bei 700 Keimen losgeht und halbstündige Verdoppelung dasselbe ist wie Vervierfachung pro Stunde.

Nun zur Frage, wie lange es dauert bis sich eine Milliarde Keime gebildet haben.
Wir wollen also t bestimmen, sodass die Anzahl der Keime f(t) gleich 10^9 sind.

Also f(t) = 700* 4^t = 10^9  | :700

                        4^t = 10^9 / 700  | log( )

                        log(4) * t = log(10^9 / 700)   | : log(4)

                                   t = log(10^9 / 700) / log(4) = 10,223 

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Also wir suchen eine Funktion f(x) = a^(b*x) * c.

Zunächst bestimmen wir a, als eine Art Parameter für das Wachstum. Die Aufgabe gibt uns vor, dass sich die Anzahl verdoppelt. Also a = 2.

Gehen wir davon aus, dass x, die Anzahl der Stunden ist. Nun verdoppeln sich die Keime nicht jede Stunde, sondern jede halbe Stunde. Damit erhalten wir b = 2.

Weiterhin haben wir gegeben, dass f(0) = 700 gelten soll. f(0) = 1 * c. Also c = 700.

Somit haben wir alle Parameter bestimmt und kennen f(x).

Nun solltest du durch Umstellen das x bestimmen können, für welches f(x) = 1.000.000.000 gilt.

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Du musst dafür eine Exponentialfunktion aufstellen:

700 Keime sind am Anfang schon da. Jede halbe Stunde verdoppeln sie sich, also vervierfachen sie sich jede Stunde.

Das ergibt:

f(x) = 700*2^(2t)
(wobei t die Stundenanzahl ist)

Und jetzt mit 1.000.000.000 = 10⁹ gleichsetzen:

10⁹ = 700*2^(2t)
10⁹/700 = 2^(2t)
log₂(10⁹/700) = 2t
t = log₂(10⁹/700)/2 = log₂(10⁹/(10²*7))/2 =log₂(10⁷/7)/2 ≈ 10,22

Also haben sich nach etwa 10,22 Stunden (was 10 Stunden, 13 Minuten und 12 Sekunden entspricht) 1 Milliarde Keime gebildet.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Hallo,

hier habe ich meinen Vorschlag, wie man diese Aufgabe lösen kann (unten siehe Bild). Ich habe die Zahlen einwenig aufgerundet, sodass die Lösung vielleicht nicht ganz exakt ist...


 - (Schule, Mathe, Mathematik)
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also, 

f(x) = 700*2^(2t)

10⁹ = 700*2^(2t)
10⁹/700 = 2^(2t)
log₂(10⁹/700) = 2t
t = log₂(10⁹/700)/2 = log₂(10⁹/(10²*7))/2 =log₂(10⁷/7)/2 ≈ 10,22

wenn du noch fragen hast dann frag ruhig

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