Nullstelle Integralfunktion
Hallo Com, mein Problem bezieht sich auf Nullstellen bei Integralfunktionen. Ich weiß, dass nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion ist. Nur wenn sie auch eine Nullstelle hat ist sie eine Integralfunktion. So nun verstehe ich aber nicht wieso das so gilt.
Beispiel:
Die Funktion:
f(x) = 2x
Mögliche Stammfunktionen:
F(x)= x² +1
F(x) = x²-1
F(x)= x²
...
Die Konstante C kann beliebig gewählt werden.
Zwei dieser drei Funktionen (F(x)= x²+1 und F(x)=x²) sind keine Integralfunktionen, da sie keine Nullstellen besitzen.
Bestimmte Integrale lassen sich mit diesen Funktionen aber auch prima berechnen, da sich bei der Subtraktion F(Obergrenze) - F(Untergrenze) die Konstanten aufheben. Soweit zur Anwendung.
Jetzt gibt es den Ausdrucke:
J(x) ist die Integralfunktion zur Funktion f(x) zur unteren Grenze a. Wenn Untergrenze und Obergrenze gleich sind, ist J(x)= 0. 0 = J(a)- J(a).
Damit wird gezeigt, dass die Integralfunkton J(x) eine Nullstelle hat.?
Nur an welcher Stelle? Ich kann auch sagen:
0 = J(3) - J(3)
0 = J(4) - J(4)
....
Wieso kann man daraus ableiten, dass J(x) eine Nullstelle haben muss?
Die Integralfunktion soll den Flächeninhalt zwischen einer Funktion f(x) und der x-Achse berechnen. Kann man daraus ableiten, dass sie eine Nullstelle besitzen muss? Mit anderen Stammfunktionen, die keine Nullstelle haben, kann man auch super rechnen.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
2 Antworten
ich hoff es wird dir klar, wenn ich dir genau den unterschied zwischen stammfunktion und integralfunktion aufzeige.
angenommen du willst von f(x)=2x den flächeninhalt zwischen graph, x-achse und zwischen den bereich für x aus [1,2].
ein anderes mal willst du aber für x aus [1,3] ausrechnen. solltest du etz 2mal rechnen?
nein! du rechnest für x aus [1,k] für allgemeines k aus, und kannst dann für k 1 oder 2 einsetzen.
du erhälst eine integral-funktion, da du die ober-grenze variierst, während die untergrenze gleich bleibt. (der startpunkt, ab dem du integrieren willst)
nun weißt du ja schon, dass das ganze auch mit stammfunktionen geht, weil sich bei stammfunktion der konstante teil aufhebt wegen "obere grenze minus untere grenze".
nun zurück zur integralfunktion. du integrierst von 1 bis k über 2x dx.
dann erhälst du stammfunktion x^2 und um das integral einzusetzen musst du noch obere grenze minus untere grenze machen. daraus erhälst du dann k^2 - 1 als integralfunktion in abhängigkeit von k.
ist nun die obere grenze = die untere grenze, so setzt du in deine integralfunktion ja k=untere grenze=1 ein, und hast damit 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0. das ist deine nullstelle.
anschaulich: wenn du bei 1 anfängst, aber dann noch garnicht angefangen hast zu integrieren (bist immernoch bei 1), dann kann noch kein ingeral-wert gemessen werden.
du kanst also mit integral-funktionen einen anderen startpunkt, des integrierens wählen.
nun interessiert dich vielleicht die frage, welchen startpunkt k^2 hat, falls man k^2 als integral-funktion auffässt.
nun offenbar ist dann der startpunkt = 0, das kannst du selber ausprobieren.
nun das ist aber nicht immer so. nehmen wir zB f(x)=e^x und integrieren von 0 bis 1
=> stammfunktion e^x. grenzen 0 und k => e^k - e^0= e^k - 1
nun wählen wir unsere untere grenze allgemein, sagen wir mal a.
=> nach einsetzen der grenzen: e^k - e^a.
e^a wird nie 0, d.h. konstante fällt nie weg, also ist e^x selbst nie integralfunktion. e^x hat ja auch nie nullstelle, aber e^x - irgendeine positive zahl hat immer eine nullstelle.
zusammengefasst hat eine integralfunktion, immer bei J(untere grenze) eine nullstelle.
das wollte man dir sagen, allerdings hast du recht dass J(3)-J(3) ebenfalls 0 ist, das war entweder schlecht erklärt, oder du erinnerst dich nich mehr so genau daran.
was es eigentlich heißen sollte ist J(a) = F(a) - F(a) und im gegensatz dazu J(b) = F(b) - F(a) vermute ich mal.
Eine Integralfunktion beginnt ja an einer bestimmten Stelle, nennen wir sie a und du kannst sie als untere Grenze des Integrals begreifen.
Da die obere Grenze die Funktionsvariable (meist x) ist, gilt nun in jedem Fall:
Für x=a geht das Integral ja nur von a bis a, hat also "noch gar nicht begonnen". Ein Integral mit gleich oberer und unterer Integrationsgrenze hat den Wert Null.
Da x immer auch den Wert der unteren Grenze annehmen kann, muss also eine Integralfunktion zwangläufig auch den Wert Null annehmen können.
Gruß! D.