Negative Wurzel quadrieren?
Hey also ich habe folgendes Problem: unter der Wurzel steht eine negative Zahl, allerdings steht über der ganzen wurzel ein Exponent, also (W steht für Wurzel): (W(-4))^2
Die Wurzel kann man also eigentlich nicht ziehen, da ja ein negativer Wert darunter steht, aber da Wurzel und das Quadrat sich gegenseitig aufheben bin ich mir jetzt doch unsicher.. weiß jemand ob das geht?
10 Antworten
Quadratwurzel und Quadrat heben sich auf, d. h. W(-4)²=W(-4) * W(-4)=-4
Kannst auch rechnen wie es Suboptimierer getan hat.
Oder auch über die komplexen Zahlen, wo i²=-1 gilt:
W(-4)²=W(-1*4)²=(W(-1) * W(4))²=(i * 2)²=i² * 2²=-1*4=-4
Mit "Quadratwurzel und Quadrat heben sich auf" meinte ich eher (√x)²=x. So hätte ich das jetzt zumindest gerechnet (intuitiv).
Du würdest sagen, (√-4)² ergibt als Lösung die leere Menge?
(wäre mathematisch wohl korrekt, worauf es schließlich ankommt...)
Nein, nicht leere Menge. Ich denke nur, dass man auf jeden Fall den Umweg über die komplexen Zahlen nehmen muss, wenn eine neg. Zahl unter der Wurzel steht:
(√-4)² = (2i)² = -4
und dann kommt ja auch -4 raus.
Deine Aussage "Quadratwurzel und Quadrat heben sich auf" hatte mich gestört. Denn die gilt nicht so allgemein.
Die Regel ist (√a)² = √(a²)
Dann ist es der Quadratur egal, ob da vorher etwas gestanden hat, was nach dem Verständnis reeller Zahlen nicht geht. Es wird erst quadriert und dann die Wurzel gezogen. Das macht dann auch jeder Taschenrechner so.
(√-4)² = -4
Also wenn ich das bei mir in den Taschenrechner eingebe, dann kommt "Math.Fehler", also kann das wohl nicht ganz stimmen
Weder Wolfram noch http://web2.0rechner.de/ haben etwas dagegen einzuwenden. Ich will nicht ausschließen, dass manche Taschenrechner ein vorherige Abfrage haben, die den Fall ausschließt.
Es ist alles Menschenwerk. Nicht alle Programmierer denken an alles.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%E2%88%9A-4%29%29%C2%B2
(√a)² = √(a²) Sicher ?
Wenn ich a=-4 einsetze in √(a²):
√((-4)²) = √16 = +4
Meines Wissens lautet die Regel: √(x²) = │x│ für alle reellen x
Was das angeht, bin ich Praktiker. Für mich ist √4² = ±4
(Betragsstriche nur im äußersten Notfall)
Dabei ist die Definition von |x| davon ja auch nicht verschieden:
|x| = x , wenn x ≥ 0 und |x| = -x , wenn x < 0
Hallo.
Ich habe gesehen, dass hier die Meinungen weit auseinander gehen. Als Mathematiker möchte ich also gerade mal ein paar Dinge klären:
√(-4) ist in den reellen Zahlen nicht definiert. Ein nachträgliches Quadrieren ist damit unmöglich und hilft da auch nicht weiter.
Rhenanes Rechnung W(-4)²=W(-4) * W(-4)=-4 gilt nicht im Raum der reellen Zahlen!
Man müsste das Problem also wirklich in den Raum der komplexen Zahlen übertragen um es lösen zu können.
Weiterhin liefert die Quadratwurzel einer Zahl x immer zwei Ergebnisse, nämlich √x und -√x, denn beide ergeben im Quadrat wieder x, was die Definition der Wurzel ist. Die Wurzelfunktion wieder ist eine andere Geschichte. Als Funktion muss dem Argument ein eindeutiges Ergebnis zugewiesen werden, also hat man sich da auf den positiven Strang geeinigt. Die Wurzelfunktion ist also etwas anderes als die Wurzel einer Zahl.
Weiterhin: (√x)² = √(x²) ist im Raum der reellen Zahlen falsch:
- (√x)² existiert nur für reelle Zahlen größergleich null und liefert ein einziges Ergebnis, nämlich x (was dem Betrag von x entspricht, wir sind ja in den positiven reellen Zahlen)
- √(x²) ist definiert für alle reellen Zahlen und liefert zwei Ergebnisse, nämlich x und -x
Also sind sowohl Definitions- als auch Wertemenge und sogar die Anzahl der Ergebnisse verschieden, es kann sich nicht um die selbe Operation handeln.
Ich hoffe, dass das Euch weiterhilft. Wie das Ganze im Raum der komplexen Zahlen aussieht werde ich mir auch noch mal anschauen. Das führt aber vermutlich hier zu weit.
Alles Gute!
Nachtrag: Und JETZT habe ich gesehen, dass dieser Beitrag schon 2 Jahre alt ist. Wie bin ich denn hier gelandet? Sowas...
Dazu fällt mir nur das ein...
https://youtube.com/watch?v=bz1lwhuoBzw
Mach aus der -4 einfach "4i^2"
Die Wurzel davon wäre 2i und davon das Quadrat 4i^2 was wiederum -4 entspricht.
(Imaginäre zahlen, da kannste aus die Wurzel aus negativem ziehen, da i^2 als -1 definiert wird)
"Quadratwurzel und Quadrat heben sich auf"
Also meinst du: (√x)² = √(x²) für alle reellen x ?
Aber wenn ich bei √(x²) für x=-4 einsetze, kommt +4 raus und nicht -4:
√((-4)²) = √16 = +4
Meines Wissens lautet die Regel: √(x²) = │x│ für alle reellen x, weil die Wurzelfunktion nur positive Werte liefert.
Hab ICH jetzt einen Denkfehler oder DU ???