Monoton fallend?
Wie beweis ich die Aussage:
für jedes ε > 0 ist die Folge an := n ^−n ^1/n^ε ab einem gewissen Index monoton fallend
Wer soll diese Formel lesen können ....
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1 Antwort
Ich schreibe c für das epsilon.
Logarithmus nehmen: -n^(n^(-c)) log(n).
Vergiss mal das Minus, nochmal Logarithmus nehmen: n^(-c) log(n) + log(log(n))
Das ist ab genügend grossem n monoton wachsend: n^(-c) log(n) wird für jedes c>0 gegen Null gezogen, währen log(log(n)) monoton wächst.
Also, wenn wir das wieder e hoch nehmen, ist auch n^(n^(-c)) log(n) ab genügend grossem n monoton wachsend (da die Exponentialfunktion monoton ist).
Das Minuszeichen wieder hinzu genommen geht die Folge ab genügend grossen n monoton wachsend gegen minus unendlich.
Wir müssen nochmal e hoch nehmen, um wieder die ursprüngliche Folge zu erhalten, die nun monoton gegen Null geht, denn auf der linken Halbachse ist die Exponentialfunktion für x gegen minus unendlich monoton fallend.
