Minusklammer auflösen Erklärung?
Hat man -(a+b) wird das zu -a-b aber warum ich meine man sagt Ja immer das das - vor der Klammer quasi eine -1• ist. Aber warum kann man das so sagen ?
minus und mal sind doch zwei unterschiedliche rechenzeichen sonst würde da ja stehen -•?
5 Antworten
Zunächst einmal bedeutet ein vorangestelltes Minuszeichen eine Vorzeichenumkehr.
(Man kann -x auch als 0-x auffassen, aber man muss es nicht.)
Da eine Vorzeichenumkehr gleichbedeutend ist mit einer Multiplikation mit -1, ist
-2 = (-1) • 2
-a = (-1) • a
-(a+b) = (-1) • (a+b)
usw.
wenn da steht a-(b+c)
dann kann ich daraus ja machen:
a - 1•(b+c)
aber warum muss ich jetzt -1•b und -1• c rechnen? Das minus ist doch in dem Fall ein rechenzeichen und kein Vorzeichen. Also gibt es allgemein einen Unterschied zwischen rechenzeichen und Vorzeichen?
a - d
= a + (-d)
= a + (-1)•d
Ersetzen wir d durch b+c, wird daraus
a - (b+c)
= a + (-(b+c))
= a + (-1)•(b+c)
und hier können wir ausmultiplizieren.
Man kann es so oder so auffassen.
-a kann immer durch (0 - a) ersetzt werden.
In manchen Programmiersprachen (z. B. C#) gibt es zwei verschiedene Operatoren, die mit "-" bezeichnet werden, aber der eine steht zwischen zwei Operanden und der andere vor seinem einzigen Operanden.
Man kann das Vorzeichen genau auf diese Weise definieren.
Oder man bemüht die Gruppentheorie. Damit sind wir dann wieder bei Definitionen, die in gewissem Sinne unsere Alltagserfahrungen abbilden sollen.
In "Formelmanipulatoren" (Programme, die mathematische Formeln nach mathematischen Gesetzen umformen können) ist das so definiert.
In dem synthetischen (zusammensetzend, von unten nach oben) Aufbau des Zahlensystems, den ich kenne, geht man davon aus, dass die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition eine "Halbgruppe" bilden und man diese durch die negativen Elemente zu einer Gruppe ergänzen kann - hier gehört das negative Vorzeichen direkt zur Zahl.
Warum kann man dann zb bei
a+(b-c) die Klammer auch einfach weglassen also =a+b-c aber bei a-(b+c) nicht.
also klar beim zweiten haben wir ja unsere minusklammer. Aber warum kann man beim ersten die Klammern weglassen? Normalerweise geht das ja wenn das assoziativgesetz gilt. Zb bei a+(b+c) aber wir rechnen ja oben in der Klammer minus also warum geht das Klammer weglassen beim ersten und beim zweiten nicht?
Die folgende Begründung verwenden
-a = (-1) * a
Weil die Addition assoziativ ist, die Subtraktion aber nicht (und schon gar nicht fremdassoziativ mit der Addition):
a + (b - c)
= a + (b + (-1) * c)
= (a + b) + (-1) * c
= a + b + (-1) * c
= a + b - c
Andererseits
a - (b + c)
= a + (-1) * (b + c)
(Hier sieht man schon, dass man mit der Assoziativität der Addition nicht weiterkommt, weil hier eine Multiplikation dazwischenfunkt, die man nicht weglassen kann - keiner der Faktoren ist sicher immer 1)
= a + ( (-1) * b + (-1) * c )
(ausmultipliziert)
Hier kann man jetzt das Assoziativgesetz anwenden (sowie die Klammern um die Summe weglassen):
= a + (-1) * b + (-1) * c
= a - b - c
Oder wolltest du darauf hinaus das die Multiplikation die „dazwischenfunkt“
dafür sorgt, dass nicht einfach von links nach rechts gerechnet werden kann?
weil ich war mir nicht sicher mir war klar Addition ist assoziativ aber subtraktion nicht jetzt hat man aber
in beiden Gleichungen beides also sowohl Addition als auch subtraktion
Ja, das kann man. Aber wenn das Minuszeichen z. B. vor einer Klammer steht, unterbricht es eine Kette von "+".
Addition ist nur mit Addition assoziativ. Wenn irgendeine andere Operation dabei ist, funktioniert das mit der Assoziativität nicht.
Wenn die Subtraktion innerhalb eines Ausdrucks ist und dort bleibt oder wenn sie als Abkürzung von + (-1) * aufgefasst werden kann, haben wir nur Assoziativität der Addition.
Was so aussieht wie eine Assoziativität der Addition mit der Subtraktion ist streng genommen eine abgekürzte Schreibweise oder/und Auslassung mehrerer Umrechnungsschritte.
Ja, das haben wir in der Tat. Wir müssen erst die Multiplikation ausführen, um auf eine Form zu kommen, in der die Assoziativität zum Tragen kommt.
Bei einer Subtraktion gibt es keine solche Umformung außer Ausmultiplizieren.
ja. Oder a + (-1) * (b+c).
In beiden Fällen können wir nirgends die Assoziativität anwenden.
Es geht nicht trotz der Multiplikation, sondern nach Ausführung der Multiplikation.
Ja, natürlich.
Aber auch umgekehrt. Und dann haben wir eine Form, auf die das Assoziativgesetz passt. Es geht ja nicht darum, dass alle Formen passen, sondern dass mindestens eine Form passt.
Ich auch nicht. Aber ich weiß nicht, wie ich es sonst noch erklären kann.
Vermutlich ist es sinnvoll, wenn du dir Schritt-für-Schritt-Lösungen eines Formelmanipulators anschaust. Bei Wolfram|Alpha ( www.wolframalpha.com ) kostet dieses Feature leider Geld.
Der arbeitet mit Formeln statt mit Zahlen.
Gib mal bei https://www.wolframalpha.com ein paar Rechnungen ein oder auch so was wie
5 x^2 - 22 x + 18 = 0
Meine Hoffnung war, dass man die interne Darstellung sehen könnte. Aber das scheint bei der Online-Version nicht der Fall zu sein.
Ich habe ein Video gesehen wo erklärt wurde warum a+(-b) =a-b ist
da wurden Chips genommen. Welche die haben den Wert +1 und welche mit dem Wert -1. hat man nun bspw 6 +1er Chips und nimmt 2 weg dann hat man 4. oder man gibt zu den 6 zwei -1er dazu dann wurde gesagt, dass sich 2 -1er und 2 +1er zu 0 aufheben und damit hat man auch noch 4 Chips. Daraus erschließt sich : a+(-b)=a-b.
ist ja soweit logisch aber muss man nicht vorher definieren das sich +1er und -1er gegenseitig aufheben? Denn ich will ja beweisen das a+(-b)=a-b ist. Wenn ich aber sage das sich die beiden gegenseitig aufheben dann setze ich ja eben diese Gleichung Bzw ihre Gültigkeit voraus. Denn dafür das sich diese beiden Chips aufheben muss ich ja rechnen +1+(-1)=0
also wie ist das zu verstehen?
Das hängt davon ab, wie man die Zahlen einführt bzw. definiert.
Wenn man die Zahlen mit der Addition von vornherein als Gruppe auffasst, ist das fast die Definition: -d ist so definiert, dass d+(-d)=0 ist.
Beim synthethischen (zusammensetzenden) Aufbau geht man so vor wie in der Buchhaltung und ähnlich wie bei den Brüchen. Man betrachtet Paare von nichtnegativen Zahlen und vereinbart, zwischen zwei Paaren nicht zu unterscheiden, wenn man auf derselben Seite dieselbe nichtnegative Zahl addieren kann um auf die Zahl auf der jeweils anderen Seite zu kommen.
(4;7) ist äquivalent (6;9), weil wir durch Addition von 3 auf der linken Seite auf die rechte Seite kommen. Ebenso sind (11;6) und (15;10) äquivalent.
Dann ist mit a = (a1; a2) etc.
a + b = (a1; a2) + (b1; b2)
:= (a1+b1; a2+b2)
notwendigerweise
a - b = (a1+b2; a2+b1)
(dann und nur dann gelten die üblichen Rechenregeln, z. B.
a - b = c <=> a = b + c
Außerdem muss
n * (a1; a2) = (n * a1; n * a2)
sein, ebenfalls wegen der Rechenregeln.)
Wir kennen jetzt noch nicht -1.
Dazu stellen wir fest, dass die Zahlenpaare der Form (n;0) sich wie die natürlichen Zahlen (einschl. 0) verhalten
(Blöd wenn man versehentlich auf "Absenden" kommt ... )
Das hängt davon ab, wie man die Zahlen einführt bzw. definiert.
Wenn man die Zahlen mit der Addition von vornherein als Gruppe auffasst, ist das fast die Definition: -d ist so definiert, dass d+(-d)=0 ist.
Beim synthethischen (zusammensetzenden) Aufbau geht man so vor wie in der Buchhaltung und ähnlich wie bei den Brüchen. Man betrachtet Paare von nichtnegativen Zahlen und vereinbart, zwischen zwei Paaren nicht zu unterscheiden, wenn man auf derselben Seite dieselbe nichtnegative Zahl addieren kann um auf die Zahl auf der jeweils anderen Seite zu kommen.
(4;7) ist äquivalent (6;9), weil wir durch Addition von 3 auf der linken Seite auf die rechte Seite kommen. Ebenso sind (11;6) und (15;10) äquivalent.
Dann ist mit a = (a1; a2) etc.
a + b = (a1; a2) + (b1; b2)
:= (a1+b1; a2+b2)
notwendigerweise
a - b = (a1+b2; a2+b1)
(dann und nur dann gelten die üblichen Rechenregeln, z. B.
a - b = c <=> a = b + c
Außerdem muss
n * (a1; a2) = (n * a1; n * a2)
sein, ebenfalls wegen der Rechenregeln.)
Wir kennen jetzt noch nicht -1.
Dazu stellen wir fest, dass die Zahlenpaare der Form (n;0) sich wie die natürlichen Zahlen (einschl. 0) verhalten und damit mit diesen identifiziert werden können, wobei (n;0) mit n identifiziert wird.
Insbesondere ist 1 = (1;0).
Alle Zahlenpaare der Form (n; n+1) ergeben, addiert zu (1;0) ein Zahlenpaar mit 2 gleichen Zahlen, was 0 entspricht, und weiter haben keine Zahlenpaare diese Eigenschaft.
Damit ist -1 = (0;1) = (1;2) = ...
Entsprechend ist -n = (0; n) etc.
Um zu a + (-1) * b zu kommen, brauchen wir noch eine Multiplikation von Zahlenpaaren. Hier stellt sich heraus, dass die einzige sinnvolle Definition ist
a * b
= (a1; a2) * (b1; b2)
:= (a1 * b1 + a2 * b2; a1 * b2 + a2 * b1)
Damit ist dann
a - b = a + (-b) = a + (-1) * b
wie man durch Nachrechnen zeigt.
Ok verstehe
ich meine halt: es ist klar das sowas definiert wird, aber muss sowas überhaupt definiert werden ich denke wenn man den Term 1+(-1) umschreibt zu -1+1 wird doch direkt klar das da null rauskommt, also warum diese schwere definitionsarbeit?
In der Mathematik muss jeder Begriff, um verwendbar zu sein, erst einmal definiert werden, der kein Grundbegriff ist, ebenso wie jede Aussage, die kein Axiom ist, bewiesen werden muss, um ein Satz zu sein.
Es kommt darauf an, wie viel man bereit ist, als Axiom zuzulassen. Es gibt auch Ansätze, die direkt von den reellen Zahlen ausgehen. Minimalisten bevorzugen möglichst wenige Axiome und leiten die Existenz von Zahlen aus der Mengenlehre her (Mengen -> natürliche Zahlen -> ganze Zahlen -> rationale Zahlen -> reelle Zahlen)
Stimmt, man kann sagen, dass (-1) als Gegenzahl von 1 definiert ist.
Wenn wir voraussetzen oder bewiesen haben, dass die ganzen Zahlen eine Gruppe bilden, wissen wir, dass
1 + (-1) = 0
ist. Nach den Sätzen der Gruppentheorie (oder auch, weil die Addition kommutativ ist) ist damit auch
(-1) + 1 = 0
Ok also quasi aus den Definitionen der Zahlen und den rechenregeln folgt das dann?
weil ich finde das komisch ich meine was bedeutet definiert in dem Sinne. Die Addition ist das „zusammenzählen“ zweier Elemente, ist das nun eine Definition? Denn das ist doch eher ein axiom etwas was sich einfach ergibt
Die Diskussion geht immer mehr in die Grundlagen des Aufbaus des Zahlensystems. Möglicherweise ist es sinnvoller, sie woanders fortzusetzen - etwa in einer eigenen Frage.
Zu natürliche Zahlen: siehe Peano-Axiome und Modelle dazu. Oder/und Mächtigkeit von Mengen / Gleichmächtigkeit.
Zu Addition: z. B. Vereinigungsmenge elementefremder Mengen.
Also um nochmal auf das von ganz oben zurückzukommen:
a-(b+c)
das minus hatten wir ja gesagt ist -1*
folgt das jetzt auch aus dem Aufbau des Zahlensystems oder aus der Tatsache das gilt: a-(b+c)= a+(-(b+c))
also wurde das definiert das -3 bspw = -1*3 ist?
Die Definition von -3 ist: -3 ist diejenige (nach den Gruppensätzen existierende und eindeutige) ganze Zahl, für die
3 + (-3) = 0
ist.
Dass -3 = (-1) * 3 ist, muss dann noch bewiesen werden.
b+c ist eine natürliche bzw. ganze Zahl.
Für jede ganze Zahl z gilt
-z = (-1) * z
damit gilt also auch
-(b+c) = (-1) * (b+c)
Wenn zwei Ausdrücke äquivalent sind, kannst du sie überall gegeneinander austauschen.
(Ich dachte, hier ginge es darum, ob die Äquivalenz bewiesen werden muss oder axiomatisch festgelegt ist.)
zu 1.:
z + (-z) = 0 (Definition von -z)
andererseits
0 = 0 * z = (1 + (-1)) * z
= 1 * z + (-1) * z
= z + (-1) * z
Wegen der Eindeutigkeit von Differenzen (auf beiden Seiten -z von links addieren) ist also
-z = (-1) * z
zu 2.:
Wir betrachten die ganzen Zahlen als "Äquivalenzklassen" von Paaren natürlicher Zahlen.
[[(n, m)]] + [[(k, l)]] := [[(n+k, m+l)]]
[[(n, m)]] * [[k, l)]] := [[(n k + m l, n l + m k)]]
Kommutativität, Assoziativität und Distributivität kann man durch Nachrechnen leicht daraus folgern, dass die betreffenden Gesetze für natürliche Zahlen gelten.
Wie gesagt, es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Zahlensystem aufzubauen.
Dass z + (-z) = 0 ist, ist im synthetischen Aufbau kein Axiom, sondern wird (leicht) bewiesen.
In der Gruppentheorie ist ein Axiom, dass es zu jedem Element a ein anderes Element a_quer gibt, sodass
a • a_quer = e
wobei e das neutrale Element der Gruppe ist. In der additiven Gruppe der ganzen Zahlen ist das neutrale Element 0 und a_quer nennt man -a.
-----
Dadurch, dass man beweist, dass die ganzen Zahlen eine Gruppe bilden, kann man alle Sätze der Gruppentheorie auf die ganzen Zahlen anwenden.
Das ist einfach -1 mal die Klammer. Mein Lehrer hat immer gesagt das Mathematiker Faul sind und meist das mal zeichen weglassen. Man lässt auch meistens die 1 weg, weil z.B 5 hoch 1 wiederum 5 ist, und man es weglassen könnte.
Es wäre auch viel zu aufwendig, 5^1 bzw. (5^1)^(1^1) bzw. ((5^1)^(1^1))^((1^1)^(1^1)) bzw. ... zu schreiben, man kann ja nicht unendlich viel Zeit und Papier für eine einzige Zahl verschwenden.
mal zeichen können weg gelassen werden 1x ist ja eigentlich auch 1*x also im endeffekt steht da -*(a+b) bzw -1*(a+b)
die schreibweise hat sich halt einfach so entwickelt bzw wurde so irgendwann mal festgelegt
Ja, es sind zwar verschiedene Rechenoperationen, ob ich nun multipliziere oder subtrahiere, das stimmt.
Aber bei einer - Klammer werden die Vorzeichen umgekehrt und dasselbe erreiche ich auch durch eine Division mit -1 oder Multiplikation mit -1
ja, hast recht- da steht quasi -• oder -1• vor der Klammer.
Also besser gesagt ;
warum steht da a (-1)•(...) und nicht
a- (1)•(...)