Menge aller Abbildungen Verständnisfrage?

Zu zeigen ist ob diese Abbildung linear oder eben nicht linear ist. Im allgemeinen verstehe ich diese Abbildung überhaupt nicht.
Also ich habe doch in Abb(R,R) alle Funktionen die es gibt (mit entsprechend R als Def. und Wertemenge) und jede Funktion wird auf ihren Wert an der Stelle x=3 abgebildet. Aber wie kann ich mir das vorstellen? und vor allem wie "rechne" ich mit sowas?
Kann mir jemand einen Hinweis zur Lösung der Aufgabe geben?
( Die Nullabbildung bildet auf f(3) und damit wieder auf 0 ab, also passt das aber wie das mit der additivität/Homogenität aussieht? )

Answer 1

[Willibergi]

Du hast es schon richtig erkannt: Jeder Abbildung wird ihr Funktionswert an der Stelle 3 zugeordnet. Wir können die Kriterien einfach formal abstrakt prüfen:

$T\left(f+g\right)=\left(f+g\right)\left(3\right)=f\left(3\right)+g\left(3\right)=T\left(f\right)+T\left(g\right)$

Die erste Bedingung passt also. Die zweite Bedingung:

$T\left(\alpha f\right)=\left(\alpha f\right)\left(3\right)=\alpha f\left(3\right)=\alpha T\left(f\right)$

Passt auch, T ist also linear. Die Menge aller Abbildungen von IR nach IR ist mit der evidenten Skalarmultiplikation und Addition ja ein Vektorraum und genau diese evidenten Definitionen wenden wir an und erhalten damit Linearität. Letztlich musst du die Linearität genau so nachweisen wie du es auch mit "normalen" Vektoren machen würdest - du überlegst dir, was Addition und Skalarmultiplikation bei Abbildungen bedeutet und formst dann entsprechend um.

LG

Comments

[Kurax151]

Vielen Lieben Dank

[Willibergi]

@Kurax151

Gerne.