Maximum im Ursprung was ist die Steigung?

6 Antworten

Ein Minimum im Ursprung…

Bei Funktionen einer einzelnen Variablen sagt man üblicherweise nicht »im Ursprung«. Die Stelle x=0 kann man natürlich im weiteren  als Ursprung in 1D bezeichnen.

Du magst einwenden, dass der Funktionsgraph ja in einer zweidimensionalen Ebene {x∈D⊂ℝ, f(x)∈ℝ} verläuft, aber die Ordinate {f(x)∈ℝ} enthält die Funktionswerte und gehört nicht zum Ort.

…heißt ja dass die Steigung dort gleich 0 ist…

  • Wenn die Funktion dort differenzierbar ist. Die Funktion f(x)=|x| ist in jeder Umgebung außerhalb des Ursprungs x=0 größer als in x=0, doch f(x) ist gerade dort nicht differenzierbar.
  • Ob das Minimum im Ursprung liegt, ist wurscht. 

Wenn eine Funktion f(x) in x₀ ein lokales Minimum hat und in einer Umgebung [x₁,x₂] mit x₁<x₀<x₂, differenzierbar ist, dann gibt es auch eine Umgebung [xₐ,xₑ] mit x₁ ≤ xₐ < x₀ und x₀ < xₑ ≤ x₂, für die f(x) eine U-Kurve beschreibt: 

(1.1) f′(x) < 0 ⇐ xₐ < x < x₀
(1.2) f′(x) = 0 ⇐ x = x₀
(1.3) f′(x) > 0 ⇐ x₀ < x < xₑ.

Wenn eine Funktion f(x) in x₀ ein lokales Maximum hat und in einer Umgebung [x₁,x₂] mit x₁<x₀<x₂, differenzierbar ist, dann gibt es auch eine Umgebung [xₐ,xₑ] mit x₁ ≤ xₐ < x₀ und x₀ < xₑ ≤ x₂, für die f(x) eine umgekehrte U-Kurve beschreibt: 

(2.1) f′(x) > 0 ⇐ xₐ < x < x₀
(2.2) f′(x) = 0 ⇐ x = x₀
(2.3) f′(x) < 0 ⇐ x₀ < x < xₑ.

Wohl bemerkt: Die Bedingungen (1.2) und (2.2) allein reichen nicht aus. Die Funktion könnte dann auch einen Sattelpunkt haben (Beispiel f(x)=x³) oder überhaupt konstant sein. Deshalb ist der in (1.1) und (1.3) bzw. in (2.1) und (2.3) beschriebene Vorzeichenwechsel essentiell.

Ob das im Ursprung oder anderswo so ist, ist egal. Die Steigung ist an einem Minimum oder Maximum dann gleich 0, wenn die Kurve an dieser Stelle überhaupt eine Steigung hat. Das ist, was der Suboptimierer mit anderen Worten schon sagte.

Beispiele für ein Maximum und ein Minimum, wo man nicht wirklich sagen kann, was die Steigung ist, werden hier gezeigt:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzierbarkeit-von-funktionen

Ein Maximum im Ursprung, wer ist der Mörder? So könnte man auch fragen.

Ich rate einmal dass diese Fragestellung etwas mit Kurvendiskussion zu tun hat. Unter dem Ursprung versteht man im Koordinatensystem die  Stelle (0|0).  Ein Minimum oder auch ein Maximum einer Kurve kann überall auftreten, auch an der Stelle (-5|1002).

Richtig ist die Aussage, dass in einem Minimum oder in einem Maximum die Steigung der Kurve gleich 0 ist.

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