Maximum im Ursprung was ist die Steigung?
Ein Minimum im Ursprung heißt ja dass die Steigung dort gleich 0 ist ist dann bei einem Maximum im Ursprung die Steigung auch gleich 0?
6 Antworten
Ein Minimum im Ursprung…
Bei Funktionen einer einzelnen Variablen sagt man üblicherweise nicht »im Ursprung«. Die Stelle x=0 kann man natürlich im weiteren als Ursprung in 1D bezeichnen.
Du magst einwenden, dass der Funktionsgraph ja in einer zweidimensionalen Ebene {x∈D⊂ℝ, f(x)∈ℝ} verläuft, aber die Ordinate {f(x)∈ℝ} enthält die Funktionswerte und gehört nicht zum Ort.
…heißt ja dass die Steigung dort gleich 0 ist…
- Wenn die Funktion dort differenzierbar ist. Die Funktion f(x)=|x| ist in jeder Umgebung außerhalb des Ursprungs x=0 größer als in x=0, doch f(x) ist gerade dort nicht differenzierbar.
- Ob das Minimum im Ursprung liegt, ist wurscht.
Wenn eine Funktion f(x) in x₀ ein lokales Minimum hat und in einer Umgebung [x₁,x₂] mit x₁<x₀<x₂, differenzierbar ist, dann gibt es auch eine Umgebung [xₐ,xₑ] mit x₁ ≤ xₐ < x₀ und x₀ < xₑ ≤ x₂, für die f(x) eine U-Kurve beschreibt:
(1.1) f′(x) < 0 ⇐ xₐ < x < x₀
(1.2) f′(x) = 0 ⇐ x = x₀
(1.3) f′(x) > 0 ⇐ x₀ < x < xₑ.
Wenn eine Funktion f(x) in x₀ ein lokales Maximum hat und in einer Umgebung [x₁,x₂] mit x₁<x₀<x₂, differenzierbar ist, dann gibt es auch eine Umgebung [xₐ,xₑ] mit x₁ ≤ xₐ < x₀ und x₀ < xₑ ≤ x₂, für die f(x) eine umgekehrte U-Kurve beschreibt:
(2.1) f′(x) > 0 ⇐ xₐ < x < x₀
(2.2) f′(x) = 0 ⇐ x = x₀
(2.3) f′(x) < 0 ⇐ x₀ < x < xₑ.
Wohl bemerkt: Die Bedingungen (1.2) und (2.2) allein reichen nicht aus. Die Funktion könnte dann auch einen Sattelpunkt haben (Beispiel f(x)=x³) oder überhaupt konstant sein. Deshalb ist der in (1.1) und (1.3) bzw. in (2.1) und (2.3) beschriebene Vorzeichenwechsel essentiell.
Ein Maximum im Ursprung, wer ist der Mörder? So könnte man auch fragen.
Ich rate einmal dass diese Fragestellung etwas mit Kurvendiskussion zu tun hat. Unter dem Ursprung versteht man im Koordinatensystem die Stelle (0|0). Ein Minimum oder auch ein Maximum einer Kurve kann überall auftreten, auch an der Stelle (-5|1002).
Richtig ist die Aussage, dass in einem Minimum oder in einem Maximum die Steigung der Kurve gleich 0 ist.
Ein Minimum ist generell ein Tiefpunkt und dort ist die Steigung immer gleich null. Ein Maximum ist ein Hochpunkt und auch dort ist die Steigung null. Beide Punkte werden auch Extrempunkte genannt.
Beispiel für einen Tiefpunkt wäre die Funktion von f(x)=x². Bei T(0|0) befindet sich der Tiefpunkt.
Beispiel für einen Hochpunkt wäre f(x)=-x². Es ist die Gleiche Funktion nur Achsengespiegelt. Der Hochpunkt befindet sich hier bei H(0|0).
Ja, sowohl für einen Hoch-, als auch einen Tiefpunkt gilt:
f'(x) = 0
Zur genaueren Bestimmung muss die zweite Ableitung hinzugezogen werden.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :)
LG Willibergi
Wenn die Funktion dort überhaupt ableitbar ist, dann trifft deine Vermutung zu. Sowohl im Minimum als auch im Maximum ist die Steigung 0.