Max. Volumen Zylinder+Halbkugel?
Hey, hier eine Lösung (falls sie überhaupt richtig sein sollte):
Um das möglichst große Volumen des Kunstobjekts bei einer Oberfläche von 1m^2 zu erhalten, müssen wir das Volumen des Zylinders und der Halbkugel berechnen und dann die Oberflächen dieser beiden Körper berechnen und sie gleich 1m^2 setzen.
Das Volumen des Zylinders ist Vz = π * r^2 * h und das Volumen der Halbkugel ist Vhk = (2/3) * π * r^3
Die Oberfläche des Zylinders ist Az = 2 * π * r * h + 2 * π * r^2 und die Oberfläche der Halbkugel ist Ahk = 3 * π * r^2
Daher ist die Gesamtoberfläche des Objekts A = Az + Ahk = 2 * π * r * h + 5 * π * r^2 = 1m^2
Das Volumen des Objekts V = Vz + Vhk = π * r^2 * h + (2/3) * π * r^3
Daher können wir die erste Gleichung nach r auflösen und dann einsetzen in die Gleichung des Volumens, um die Höhe des Zylinders zu finden:
r = sqrt(3/5) * sqrt(1/π)
h = (1/π - 5 * (r^2)) / (2 * r)
Jetzt haben wir die Abmessungen des Kunstobjekts, die das größtmögliche Volumen bei einer Oberfläche von 1 m^2 ergeben:
Radius der Halbkugel r = sqrt(3/5) * sqrt(1/π)
Höhe des Zylinders h = (1/π - 5 * (r^2)) / (2 * r)
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Abmessungen absolut optimal sind und das maximale Volumen unter der gegebenen Bedingung bieten.
Frage:
wie genau verlaufen die Zwischenschritte um auf r und h zu kommen? Kann es nicht nachvollziehen wie man auf diese Ergebnisse kommt
1 Antwort
Die Oberfläche des Zylinders ist Az = 2 * π * r * h + 2 * π * r^2 und die Oberfläche der Halbkugel ist Ahk = 3 * π * r^2
Daher ist die Gesamtoberfläche des Objekts A = Az + Ahk = 2 * π * r * h + 5 * π * r^2 = 1m^2
schon, aber beim Zusammensetzen verschwinden der Deckel des Zylinders und der Boden der Halbkugel. die „5“ sollte also eher eine „3“ sein.
Du kannst die Gleichung V=1 ganz einfach nach h auflösen:
2πrh + 3πr² = 1 ⇔ h = (1−3πr²) / (2πr)
Und dieses h setzt Du in die Formel für V ein:
V = πr²·(1−3πr²)/(2πr) + 2/3πr³ = r/2 − 3/2πr³ + 2/3πr³ = r/2 − 5/6πr³
Bestimme jetzt die Ableitung von V(r) und setze sie =0. Das bringt Dir r₁,₂=±1/√(5π), wobei der positive Wert ein Hochpunkt ist (weil die Parabel V' nach unten geöffnet ist).
Das zu r₂ passende h liefert Dir wieder die obige Formel für h:
h = (1−3π/(5π)) / 2π · √(5π) = √(5π)
Tippfehler in der Antwort:
Du kannst die Gleichung A=1 ganz einfach nach h auflösen:
Für solche Optimierungsaufgaben solltest Du die Kurvendiskussion im Schlaf können:
V(r) = r/2 − 5/6πr³ soll maximal werden:
V'(r) = 1/2 − 5/2πr² = 0 ⇔ 5πr² = 1 ⇔ r₁,₂ = ±1/√(5π)
r₁ < 0 ist uninteressant.
V"(r) = −5πr, V"(r₂) < 0 ⇒ Hochpunkt bei r₂.
und kannst du genau den rechenweg zur ableitung von v(r) erklären