Mathematischer Beweis für 0?

Eigentlich steht die Frage bereits oben. Oh würde gerne den mathematischen beweiß für nichts bzw 0 sehen. Muss es ja geben oder ?

L.g kirito

Answer 1

[mihisu]

Was meinst du mit einem Beweis für 0?

0 ist eine Zahl, keine Aussage, die man beweisen könnte.

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Meinst du die Existenz von 0 in den natürlichen Zahlen?

In den natürlichen Zahlen gibt es aufgrund des 1. Peano-Axioms die Zahl 0 in den natürlichen Zahlen. Das ist axiomatisch festgelegt. (Man könnte das auch anders festlegen. Es gibt ja auch weiterhin Mathematiker, welche 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählen.)

Im Neumann-Modell der natürlichen Zahlen wird 0 als leere Menge definiert. Dort gilt:

$0:= \left\lbrace\right\rbrace$

$1:= \left\lbrace 0 \right\rbrace=\left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace \right\rbrace$

$2:= \left\lbrace 0, 1 \right\rbrace=\left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace, \left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace \right\rbrace \right\rbrace$

$3:= \left\lbrace 0, 1, 2 \right\rbrace=\left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace, \left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace \right\rbrace, \left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace, \left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace \right\rbrace \right\rbrace \right\rbrace$

[...]

Und die Existenz der leeren Menge ist auch axiomatisch in der Zermelo-Mengelehre bzw. der Zermelo-Fraenkel-Menglehre festgelegt.

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Meinst du, dass 0 das neutrale Element der Addition ist?

Auch das ist axiomatisch entsprechend in der Definition der Addition natürlicher bzw. ganzer Zahlen festgelegt (und vererbt sich entsprechend auf andere Zahlenbereiche, wie die rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen, da diese Zahlenbereiche entsprechend konstruiert sind, um mit den natürlichen Zahlen kompatibel zu sein).

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Du solltest evtl. auch einmal aufgeklärt werden, was ein Beweis in der Mathematik ist. In der Einleitung des entsprechenden Wikipedia-Artikels steht da beispielweise dazu:

Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Man spricht daher auch von axiomatischen Beweisen.

Und dazu noch die Einleitung zum Wikipedia-Artikel über Axiome:

Ein Axiom (von griechisch ἀξίωμα axíoma, „Forderung; Wille; Beschluss; Grundsatz; philos. (...) Satz, der keines Beweises bedarf“, „Wertschätzung, Urteil, als wahr angenommener Grundsatz“) ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems weder begründet noch deduktiv abgeleitet, sondern als Grundlage willentlich akzeptiert oder gesetzt wird.

Und die Existenz von 0 ist axiomatisch festgelegt, wird also als Grundlage akzeptiert, die keines Beweises bedarf, um im entsprechenden Axiom-System wahr zu sein.

Comments

[Kirito1212]

Das war eine sehr spannend zu lesende Antwort und hat mir viel beantwortet. Vielen Dank

Answer 2

[SvetaAkhatova]

Nee, muss es nicht. Weil 0=0 ein sogeanntes Axiom ist. Ein Sachverhalt der nicht weiter bewiesen werden kann und darum auch keiens weiteren Beweises bedarf.