Mathematische Frage?
Wenn man bei einer zweistelligen Zahl (z.B.12) die Ziffern vertauscht (aus 12 wird 21) ist die Differenz IMMER durch 3 teilbar. Lässt sich das erklären/beweisen?
2 Antworten
Wenn a die Zehnerstelle und b die Einerstelle ist kann man das so aufschreiben:
(10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9 * (b-a)
ist also immer durch 3 teilbar weil 9 durch 3 teilbar ist.
Man kann sogar eine allgemeinere Aussage machen und beweisen:
Sei a eine natürliche Zahl mit beliebig viele Stellen. Sei b eine natürliche Zahl, die durch eine beliebige umordnung der Ziffern von a entsteht. Dann ist die Differenz von a und b durch 3 teilbar.
Beispiel:
47452 - 57244 = -9792 ist durch 3 teilbar (sieht man an der Quersumme)
Denn:
Die Zahl a lässt sich darstellen als
a_0 *10^0 + a_1*10^1 + a_2*10^2 + ...
Da 10 und 1 in der selben Restklasse bzgl Modulo 3 sind (10 = 3*3+1)
Ist a in der selben Restklasse wie a_0+a_1+a_2+....
Aus dem Selben Grund ist b auch in der selben Restklasse wie a_0+a_1+... (Wenn man beim letzten Schritt die Reihenfolge der Summanden vertauscht)
Somit ist a-b in der selben Restklasse wie a_0+a_1+...-a_0-a_1-.... = 0
Ie Differenz ist also in der Restklasse 0 bzgl Modulo 3, also durch 3 Teilbar.