Mathematik extremwertprobleme und berechnen?
Von einer Kaffeesorte werden bei einem Preis von 20 Euro pro kg im Monat 10000 kg verkauft. Wenn man den Preis um 0,02 € senkt, werden jeweils 100 kg mehr verkauft. Die Herstellungskosten belaufen sich auf 14€ pro kg.
Bei welchem Preis wird der höchste Gewinn erzielt?
4 Antworten
Nach Aufgabenstellung garnicht! Preis meinst du sicher 20€ und 10.000 Stck. Beim Vergleich von 19,98€ nimmst du die Masse und nicht stck!
Ist mir klar! Aber das Problem ist der Bezug einmal Stück und einmal Masse! Könnten 10.000kgsein. Was ist gesucht, Gewinn oder Umsatz?
Dazu gibt es eine Formel, die ich nicht im Kopf habe. Tafelwerk benutzen!
Stelle zunächst eine "Bilanzgleichung" auf:
Gewinn = (Verkaufpreis - Produktionspreis)*Stückzahl
unter der Annahme, dass alles Produzierte dann auch verkauft wird.
Die Stückzahl ist nun nach Aufgabe eine Verkaufspreisabhängige Funktion, es gilt:
G = ((20 - 0.02*n) - 14)*(10000 + n*100)
Ausmultiplizieren liefert uns dann:
G = -2n² + 400n + 60000
Es handelt sich hierbei um eine nach unten geöffnete Parabel. Nehmen wir n als kontinuierlich an, so folgt nach differenzieren:
G´ = -4n + 400
das Maximum wird also an der Stelle n = 100 angenommen. Unter diesen Bedingungen erhalten wir dann:
Verkaufspreis: 18
Stückzahl: 20000 (doppelt so viel wie vorher)
max Gewinn: 80000
Hallo,
ergänzend zur Antwort von KDWalther:
Der Umsatz berechnet sich aus dem Kilopreis, multipliziert mit den verkauften Mengeneinheiten in kg.
Vom Umsatz ziehst Du, wie gesagt, 14x ab, da pro kg 14 Euro Herstellungskosten anfallen.
Pro Verbilligung um 2 Cent (0,02x) verkaufst Du 100 kg 100x mehr.
Gewinnfunktion aufstellen, ableiten und die Ableitung auf Null setzen.
Die Lösung ergibt x, also wie oft Du 2 Cent von den 20 Euro abziehen mußt, um den idealen Kilopreis zu erzielen.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Rechenansatz ist derselbe wie bereits auf Deine letzte Frage von willy oder mir dargestellt.
Der Unterschied ist nur, dass es hier anscheinend um den Gewinn geht (es wäre schön, wenn Du genau schreiben würdest, was überhaupt zu berechnen ist :-) ).
Um den Gewinn zu berechnen, musst D vom Erlös/Umsatz die (Herstellungs)Kosten abziehen. Diese sind hier 14x (Stückkosten · Menge).
Ich hoffe, das hilft Dir, die Aufgabe selber zu lösen.
Meine 20€