Mathematik, endlicher Körper mit 9 Elementen?

2 Antworten

Hi,

siehe "Explicit construction of finite fields":

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field#Explicit_construction_of_finite_fields

Gegeben q = 3² = 9

man nehme ein irrediduzibles Polynom P vom Grad 2 in GF(3) = ℤ/3ℤ
(andere Notation: ℤ₃) und bilde ℤ₃[X]/(P)

Ein irreduzibles Polynom in ℤ₃ ist X²+1. (X²+1 hat keine Nullstellen in ℤ₃ !).

Die Elemente von GF(9) = ℤ₃[X]/(X²+1) sind dann alle Polynonme vom Grad < 2 (also 0 und 1) mit Koeffizienten in ℤ₃.

Die 9 Elemente sind

0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2.

Ein paar Beispiele für Addition und Multiplikation:

2•(2x+2) = 4x+4 = x+1

x + 2x+1 = 3x+1 = 1

x•x = x² = x² + 2•0 = x² + 2(x²+1) = 3x² + 2 = 2

(x+1)•2x = 2x² + 2x = 4 + 2x= 2x+1

usw.

Gruß

Danke,

bei einem Körper mit 8 Elementen (2³) nehme ich dann Z/2Z

Und suche ein irreduzibles Polynom vom Grad 3?

Wie sehen dort die Elemente aus und wie komme ich dahin?

0
@fragegeist88

Genau.

Wie man ein irreduzibles Polynom in ℤ₂[x] sucht, ist mir jetzt nicht klar.
Bei diesen Beispielen findet man leicht eins: z.B. ist

g(x) = x³ + x + 1

in ℤ₂ = ℤ/2ℤ irreduzibel:

g(0) = 1, g(1) 1³ + 1 + 1 = 3 = 1

Die Elemente von GF(8) sind dann alle Polynome vom Grad kleiner 3 (also 2) mit Koeffizienten in ℤ₂ , modulo (x³+x+1):

ax² + bx + c , mit a,b,c ∈ ℤ₂ .

Wir können sie mit Tripeln (a, b, c) aus ℤ₂ x ℤ₂ x ℤ₂ identifizieren und erhalten
folgende 8 Elemente:

(0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , (1,1,0)

Die vier dann nochmal mit 1 in der 3. Komponente:

(0,0,1) , (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,1)

Als Polynome:

0, 1, x, 1+x,

x², 1+x², x+x², 1+x+x²

Diese Polynome sind modulo g(x) zu verstehen.Das bedeutet, wenn man je zwei von diesen 8 Polynomen aus ℤ₂[x] multipliziert und auf einen Term x³ stößt, dann kann man den Grad dadurch veringern.

Beispiel:

(1+x²)•x = x+x³

g(x) sieht man als Null an: x³+x+1 = 0 , also x³ = -x - 1 = (-1)•(1+x) = 1+x

Also ersetzt man x³ durch 1+x:

(1+x²)•x = x+x³ = x+(1+x) = 1+2x = 1

Auf diese Weise kann man sich die Multiplikationstabelle erstellen.

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Du nimmst dir einen Körper mit 3 Elementen, betrachtest davon den Polynomring und teilst da ein Ideal, welches von einem Irreduziblen Polynom mit Grad 3 Erzeugt wird, raus.

Was genau findet ihr an der AFD nicht in Ordnung?

Bitte Fakten

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