Matheaufgabe Matritzen und Wahrscheinlichkeiten?
Die Fragestellung lautet:
Eine Ameise wandert im festen Zeittakt zwischen den Positionen 1 und 5 hin und her. 1, 2 und 3 sind Ameisenhaufen, 4 und 5 sind fallen der Ameisenbären. Einmal dort in die Falle gegangen, gibt es kein Entkommen mehr.
Ein Frage Teil: Untersuche mit Hilfe geeigneter Beispiele, ob sich unabhängig von der Startposition der Ameise ein stabiler Zustand einstellt.
Kann mir vielleicht jemand Helfen!! :) Habe heute noch eine Klausur
1 Antwort
Dazu stellt man eine Übergangsmatrix auf (Markow-Kette). Die Matrix hat 4 Zeilen und Spalten. Jeder Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, von Feld x nach Feld y zu kommen. Die Matrix hat nur die Dimension 4x4, weil die Ameise nie nach Feld 5 gelangen kann.
Die Wahrscheinlichkeit von 1 nach 2 ist 1,0
Die Wahrscheinlichkeit von 2 nach 1 ist 0,5
Die Wahrscheinlichkeit von 2 nach 3 ist 0,5
Die Wahrscheinlichkeit von 3 nach 2 ist 0,5
Die Wahrscheinlichkeit von 3 nach 4 ist 0,5
Die Wahrscheinlichkeit von 4 nach 4 ist 1 (Ameise tot)
Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind 0, denn sonst müsste die Ameise um zwei Felder springen. Die Übergangsmatrix M lautet
0, 1/2, 0, 0
1, 0, 1/2, 0
0, 1/2, 0, 0
0, 0 1/2, 1
Jetzt kann man wie folgt rechnen
M * V1 = V2
V1 = Zustand (Feld) jetzt
V2 = Zustand (Feld) neu
Einen Zustand Zs nennt man stabil, wenn
M * Zs = Zs gilt, mit Zs != 0
Zs ist nichts anderes als der Eigenvektor der Matrix M mit dem Eigenwert 1.
Lösung : (0,0,0,1)
Es gibt also nur diesen stabilen Zustand (was auch zu erwarten war), denn die Ameise wird immer irgendwann ins Feld 4 laufen.