Mathe hilfe (Scheitelform/Quadratische ergänzung)
Tag, es gibt schon einige Fragen zu dem Thema allerdings helfen die mir auch nicht weiter. Ich habe Schwierigkeiten von der Normalform zur Scheitelform zu kommen. Die Schritte an sich verstehe bloß es hakt bei der Stelle mit den Binomischen Formeln. Dieses Video https://www.youtube.com/watch?v=oT8nJGKnWqg, ist zwar hilfreich allerdings hat der so einfache Zahlen genommen das der Schritt den ich nicht verstehe übersprungen wurde. Bsp: x²+3x+4 kann mir bitte jemand die Sache mit in die Binomische Formel erklären.
3 Antworten
Hei :-)
Ich versuchs mal :-)
Erstmal erklär ich dir nochmal die binomischen Formeln an sich, da du sie - wie du bereits gemerkt hast - beim Umformen in die Scheitelpunktsform benötigst. Es gibt drei binomische Formeln:
- (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
- (a-b)² =(a-b)(a-b)= a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
- (a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b²
Hier mal ein hilfreiches Video dazu: https://www.youtube.com/watch?v=EYbvhWEG6kE
Bei den quadratischen Funktionen hast du bereits a²+2ab. Der Term am Ende,also b², muss ergänzt werden. Näheres in der "Step-by-step" -Erklärung des Umformens :-)
- "Problem": Du möchtest die Form f(x)= ax²+bx+c in die Form f(x)= a(x-xs)²+ys - also die Scheitelpunktsform - bringen.
- Funktion: f(x)= x²+3x+4
- Du musst erstmal die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren, falls die Gleichung nicht in Normalform gegeben ist. Du hast aber eine Gleichung in Normalform gegeben, somit ist dieser Schritt nicht mehr nötig.
- Nun musst du den Term ohne x ausklammern.
- Anschließend sieht man, dass du ja in der Klammer bereits (a²+2ab) hast. Um nun den Term b² zu ergänzen, einfach die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren.
- Da du ja nicht einfach so etwas dazu fügen darfst, musst du das addierte Quadrat subtrahieren (erklär ich dir später näher).
- Jetzt kannst du die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen. Achtung: Es kommt nie eine dritte binomische Formel vor!
- Nun die Terme ohne x zusammenfassen.
- Fertig :-)
Nochmal die dick markierten Schritte:
- die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren
- Term ohne x ausklammern
- die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren
- das addierte Quadrat subtrahieren
- die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen
- die Terme ohne x zusammenfassen
Beispiel an deiner Gleichung
- Gegebene Funktion: f(x) = x²+3x+4
- Term ohne x ausklammern: f(x)= (x²+3x)+4
- Die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und zusammenfassen: f(x)= (x²+3x+2,25)+4
- Das addierte Quadrat subtrahieren: f(x)= (x²+3x+2,25)-2,25+4
- Die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen: f(x)= (x+1,5)²-2,25+4
- Terme ohne x zusammenfassen: f(x)= (x+1,5)²+1,75
- Scheitelpunktsform: f(x)= (x+1,5)² +1,75
Ich erkläre dir nochmal Schritt 3 und 4 näher.
- Du hast ja in der Klammer die Form a²+2ab vorliegen. Dabei ist das a immer x, wenn du eine Umformung in Scheitelpunktsdorm vornimmst.
- Wenn du dir jetzt den Term 2ab anschaust - der ist hier von großer Wichtigkeit - muss dir auffallen, dass die Zahl, die vor dem einfachen x steht, 2b ist (das x ist ja schon a).
- Wenn du nun 2b durch 2 teilst, erhältst du ja b - genau Dies musst du hier auch tun, um b zu erhalten.
- Um nun b² zu erhalten, musst du einfach die Zahl, die du für b erhalten hast, quadrieren (also mit sich selbst mal nehmen).
- Dieses Quadrat addierst du einfach zu a²+2ab und fertig ist die binomische Formel.
- Aber: Du darfst ja bei einer Äquivalenzumformung nicht einfach etwas dazu nehmen!
- Jetzt kommt da die Subtraktion ins Spiel: Das b², was du eben hinzugefügt hast, musst du (außerhalb der Klammer!) wieder abziehen, wie in Schritt 4 gezeigt.
- Nun formst du einfach, wie in den restlichen Schritten gezeigt, weiter um.
Mit der Scheitelpunktsform, die du nun erhalten hast, kannst du den Scheitelpunkt ermitteln: Da du weißt, dass die Scheiteplunktsform f(x)= (x-xs)²+ys bzw. f(x)= (x-d)²+e (je nachdem wie du es gelernt hast) und die entsprechenden Koordinaten des Scheitelpunktes S(xs|ys) bzw. S(d|e) sind, kannst du nun ganz einfach den Scheitelpunkt ablesen.
Bei dir wäre das:
f(x)= x²+3x+4
=> f(x)= (x+1,5)² +1,75
=> S(-1,5|1,75)
Also hat die Funktion f(x)= x²+3x+4 den Scheitelpunkt S(-1,5|1,75).
Bitte entschuldige meinen langen Text - ich habe versucht, es dir möglichst ausführlich zu erklären, damit du die Vorgehensweise bei der Umformung auch wirklich verstehst...
Ich hoffe es hat dir geholfen. Bei Fragen kannst du mich gerne ansprechen.
lg ShD
Danke für den DH.
Und vielen Dank für die Ergänzung, das ist natürlich völlig richtig:
Du hasr hier eine quadratische Gleichung in der Normalform (a=1) vorliegen. Ist a aber nicht 1 - also liegt die allgemeint Form vor - bleibt der Term, den du abziehen willst, vorerst in der Klammer und wird mit a multipliziert.
Hey :) ich versuche es mal ^^ Also du hast ja die Funktion f (x)=x²+3x+4. Du musst zuerst bei den 3x die 3 halbieren und quadrieren, also (3:2)²=2, 25. Diese Zahl addierst du dann zu den 3x und subtrahierst sie sofort wieder, damit der Wert der Funktion gleich bleibt, also: [x²+3x+2, 25]-2, 25+4. Die Stelle die gleich zur binomischen Formel eingeklammert wird hab ich nur zur Übersicht mit Klammern versehen. Jetzt im nächsten Teil kommt der Teil den du nicht verstehst. Also die allgemeine Formel lautet ja ax²+bx+c. Um in der binomischen Formel (x+d)² an das d zu kommen, musst du einfach nur von bx das b halbieren, in diesen Fall die 3, also 1, 5. Und da es x² PLUS 3x+2, 25 ist, ist es die erste binomische Formel, also: (x+1, 5)²-2.25+4, vereinfacht wäre das dann (x+1, 5)²+1, 75. So das war jetzt das leichte Beispiel. Das schwierige Beispiel wäre f (x)=3x²-12x+6. Du musst immer immer immer bevor du die Scheitelpunktform berechnen willst sicher gehen, dass vor dem x² keine Zahl steht (außer eine unsichtbare 1). Um die 3 vor den x² wegzukriegen, musst du die drei ausklammern, also 3(x²-4x+2). Dann musst du genau wie oben von den -4x die -4 halbieren, quadrieren, addieren und subtrahieren, also (-4:2)² = 4 und 3(x²-4x+4-4+2). Jetzt musst du gucken, da steht ja x² MINUS 4x+4, also ist es die zweite binomische Formel. Und dann musst du gucken, welche Zahl hier bx ist, es die -4x und die musst du genau wie oben durch 2 teilen, dann kommt -2 raus. Dann steht da: 3[(x-2)²-4+2]. Jetzt musst du die -4+2 vereinfachen und die eckige Klammer auflösen, in dem du das mal 3 nimmst, also: 1.) 3[(x-2)²+2] und 2.) 3 (x-2)²+6. Ich hoffe du hast es jetzt verstanden ^^ liebe grüße Alphabetagamer
Hallo,
zunächst einmal grundlegend: Die binomischen Formeln lauten
- (a + b)² = a² + 2ab + b²,
- (a - b)² = a² - 2ab + b²,
- (a + b) (a - b) = a² - b².
Das kannst du ganz leicht nachprüfen, indem du einfach die linken Seiten ausmultiplizierst und vereinfachst. Allerdings ist es sehr hilfreich, wenn du diese Formeln auswendig kennst. Wir wollen uns nun deinem Problem nähern.
Wir haben eine Normalform y = x² + 3x + 4 gegeben und wollen sie irgendwie auf die Form
y = (x - d)² + e bringen. Der Trick nennt sich "quadratische Ergänzung". Das bedeutet, wir addieren zu unserem ursprünglichen Term einen Summanden b², sodass
x² + 3x + b² die Form a² + 2ab + b² hat, also die rechte Seite der ersten binomischen Formel. Dann können wir diese nämlich anwenden und erhalten (x + b)².
Wie aber kommt man auf dieses b²? Naja, der zweite Summand muss die Form 2ab haben. Bisher steht da 3x = 3a, also muss 3 = 2b sein. Insbesondere ist b = 3/2.
Daher folgt b² = (3/2)².
Führen wir diese Ergänzung durch, erhalten wir:
y = x² + 3x + (3/2)² - (3/2)² + 4. Das -(3/2)² kommt daher, dass ich nicht einfach etwas dazuaddieren kann, ohne den Term zu ändern. Ich muss es daher am Ende wieder abziehen. Also:
y = (x + 3/2)² + 4 - (3/2)² = (x + 3/2)² + 7/4.
Im Übrigen muss man nicht immer den ganzen Gedankengang neu durchgehen. Es genügt folgendes "Kochrezept":
Wenn x² + px + q gegeben ist, dann ist b² = (p/2)² die quadratische Ergänzung. Du halbierst also einfach den Faktor vor dem x und quadrierst es dann.
Schöne und ausführliche Erklärung. DH
Ich möchte aber noch auf einen meines Erachtens wichtigen Schritt hinweisen, der edeutsam wird, wenn du DOCHmal einen Streckfaktor hast. Das wird leider oft von Schülerinnen und Schülern in Hausaufgaben falsch gemacht, daher die Ergänzug.
In Falle eines Streckfaktors musst du bei dem 4. Schritt aufpassen. Da die subtrahierte Zahl die Klammer verlässt (vor der ja der Streckfaktor als Multiplikator steht), musst du die subtrahierte Zahl mit dem Streckfaktor multiplizieren...