Mathe Hilfe?
kann jmd. helfen ?
3 Antworten
Aufgabe b)
Achsensymmetrisch: es gibt nur gerade Potenzen. Daher Ansatz:
f(x) = ax^4 + bx^2 + c
Wir haben 3 Unbekannte, also brauchen wir 3 Informationen, um diese zu lösen. Die haben wir gegeben:
f(1) = 2
f'(1) = 6
f' '(1) = 0
Wir leiten also erstmal ab:
f(x) = ax^4 + bx^2 + c
f'(x) = 4ax^3 + 2bx
f' '(x) = 12ax^2 + 2b
Am besten fangen wir von hinten mit f' '(1) = 0 an, weil alles mit 0 die Rechnung vereinfacht:
12a + 2b = 0
f'(1) = 6:
4a + 2b = 6
Mit diesen beiden Gleichungen können wir schon mal a und b ausrechnen:
Aus 12a + 2b = 0 folgt:
b = -6a
eingesetzt in 4a + 2b = 6:
4a + 2(-6a) = 6
-8a = 6
a = -2/3
b = -6a = 4
also haben wir schon mal:
f(x) = -2/3 x^4 + 4x^2 + c
und machen nun die Punktprobe mit W(1/2):
-2/3 + 4 + c = 2
c = -2 + 2/3 = -4/3
Lösung:
f(x) = -2/3 x^4 + 4x^2 - 4/3
Und so sieht das als Graph aus:
a) Grundgleichung: f(x) = a * (x - d)² + e
Zur Info: Scheitelpunkt ist S(d|e). Den Scheitel d = 2 einsetzen
f(x) = a * (x - 2)² + e
Klammer auflösen: f(x) = a * (x² - 4x + 4) + e
Ableitung: f'(x) = a * (2x - 4)
Tangentensteigung an der Stelle x = 5 ist -3 oder auch f'(5) = -3
ergibt f'(5) =a * ( 2 * 5 - 4) = -3
6a = -3 teilen durch 6
a = -0,5
Kurvenpunkt (5|0) einsetzen in Grundgleichung mit d = 2 und a = -0,5:
f(x) = -0,5 * ( x - 2)² + e
f(5) = 0 = -0,5 * ( 5 - 2)² + e
-0,5 * 3² + e = 0
-4,5 + e = 0
e = 4,5
Funktionsgleichung aufstellen f(x) = -0,5 * ( x - 2 )² +4,5
a) Du benötigst 3 Gleichungen: die Steigung bei x=2 ist gegeben; des Weiteren kennst Du einen Punkt und die Steigung an dieser Stelle
b) aufgrund der Symmetrie fallen die ungeraden Exponenten weg, d. h. Du brauchst wieder 3 Gleichungen: Du kennst den Wendepunkt, weißt also auch, dass dort die 2. Ableitung Null sein muss und Du kennst die Steigung dort (ist die gleiche wie die der Geraden, denn parallel bedeutet gleiche Steigung)
c) hier fallen aufgrund der Symmetrie die geraden Exponenten weg (inkl. dem Absolutglied), d. h. hier sind ebenfalls 3 Gleichungen nötig: Du kennst einen Punkt, und da dies ein Wendepunkt ist, muss die 2. Ableitung Null sein und waagerechte Tangente bedeutet, dass dort die Steigung auch Null ist