Mathe Hausaufgabe Radioaktiver Zerfall?
Die Zerfallsrate eines radioaktiven Präparates ist gegeben durch die Funktion N'(t)=-0,2e^-0,04t
a)wann sinkt die Zerfallsrate unter 0,01 mg/Tag
b)Geben Sie die bestandsfunktion N(t) an
e) wie groß ist die durchschnittliche Zerfallsrate der ersten 10 Tage?
2 Antworten
Formel radioaktiver Zerfall
N(t)=No*e^(-b*t) nun ableiten nach der Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)
Substitution z=-b*t abgeleitet z´=dz/dt=-b
f(z)=e^z abgeleitet f´(z)=e^z
N´(t)=No*(-b)*e^z
N´(t)=No*(-b)*e^(-b*t)
bei dir N´(t)=0,2*e^(-0,04*t)
No*(-0,04)=0,2
No=0,2/(-0,04)=-5
No=-5
kann es sein,daß da ein Fehler vorliegt?
No=positiv zerfallsfähige Atome zum Zeitpunkt t=0
Die Zerfallsrate pro Tag müßte eigentlich sein - 0,01 mg/Tg
zu a) N´(t)=0,2*e^(-0,04*t)
0,01=0,2*e^(-0,04*t)
00,1/0,2=e^(-0,04*t) logarithmiert
ln(0,01/0,2)=-0,04*t
t=ln(0,01/0,2)/(-0,04)=74,89..Tg
t=75 Tage
zu b) Zerfallsfunktion ist N(t)=No*e^(-b*t)
N(t)=5 *e^(-0,04*t) beachte 5*(-0,04)=-0,2 und nicht 0,2
zu c) mit t=0
N(0)=5 mg
t=10
N(10)=5*e^(-0,04*10)=2,681.. mg
durchschnittlicher Zerfall m=(y2-y1)/(t2-t1)=(2,681-5)/(10-0)=-2,319/10
m=-0,2319 mg/Tg
oder als positive Zahl m=0,2319 mg/Tg
Ich schreibe dir mal die Ansätze hin, ausrechnen kannst du das dann selbst oder auch mit dem Taschenrechner ;).
Zu a): 0,01=N'(t)
Zu b): gesucht ist die Stammfunktion von N'(t), die muss lauten:
N(t)= (-0,2 : -0,04)e^-0,04t
Zu c): Entweder mit N(t) rechnen
(N(10)-N(0)) : (10-0)
-> Sekantensteigung
Oder mit N'(t) rechnen
1: (10-0) * "das Intgral von 0 bis 10 über N'(t)
-> Mittelwert