Mathe/ Extremalprobleme?

HALLO ZUSAMMEN, ICH HABE DIE ZIELFUNKTION DIE WÄRE : a^2+(1.5-0.5x^2)^2

Ich weiß jetzt nicht weiter, irgendwas mit der BINOMISCHEFORMEL VERSUCHT KLAPPT ABER NICHT.

KANN MIT JEMAND BITTE AUSFÜHRLICH HELFEN,DANKE:)

Answer 1

[verreisterNutzer]

ZIELFUNKTION DIE WÄRE : a^2+(1.5-0.5x^2)^2

Was hat in der Zielfunktion ein "a" zu suchen?

Der Satz des Pythagoras lautet hier (Zielfunktion ist das Quadrat der Länge des Fußweges):

$L^2\left(x\right)=x^2+\left(f\left(x\right)-\frac{1}{2}\right)^2=x^2+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x^2\right)^2$

Diese Funktion musst Du nicht weiter verarbeiten, sondern kannst Du nun direkt mit der Kettenregel ableiten zu:

$\frac{d\ L^2\left(x\right)}{dx}=2x\ +2\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x^2\right)\cdot\left(-x\right)\ =\ 2x\ -3x\ +x^3$ $=−x+x^3\ =x\cdot\left(x^2-1\ \right)$

Nullsetzen der ersten Ableitung liefert

$x\cdot(x^2−1)=0\ ⇔\ x_1=0\ ∨\ x_2=−1\ \vee\ x_3=1$

Hier interessiert nur die Lösung x₃: und damit ergibt sich:

$L\left(1\right)\ =\sqrt{1^2+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}1^2\right)^2}\ =\ \sqrt{1+1^2\ }=\sqrt{2}$

(für die Lösung x = -1 ergibt sich derselbe Wert und bei x = 0 ergibt sich L(0) = 3/2 > √2)

Damit wird der Fußweg mindestens

$\sqrt{2}\cdot100\ m\ \approx\ 141\ m$ lang.