Extremalprobleme - Wie löse ich das?

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Hallo,

so etwas löst man normalerweise über das Lagrange-Verfahren und mit partiellen Ableitungen.

Gesucht ist das maximale Produkt aus drei Zahlen abc unter der Bedingung, daß a+b+c=100.

Du hast die Funktion für das Volumen, das von drei Variablen abhängig ist:

V(a;b;c)=a*b*c, die maximal werden soll.

Diese Funktion erweiterst Du nun um die Nebenbedingung a+b+c=100 und zwar in der Form, daß rechts eine Null steht: a+b+c-100=0.

Wenn Du die Summe a+b+c-100 mit der Hilfsgröße lambda (λ) multiplizierst, bekommst Du λ*(a+b+c-100).

Da a+b+c-100 laut Aufgabenstellung gleich Null ist, bleibt das natürlich auch Null, wenn es mit irgendetwas multipliziert wird, denn etwas mal nix bleibt nix.

Du kannst also das Produkt λ*(a+b+c-100) einfach zu der Funktionsgleichung addieren, ohne daß sich im Ganzen etwas ändert, denn letztlich addierst Du einfach eine Null.

So bekommst Du die Funktion, die auch noch von λ abhängig ist für das Volumen:

V(a;b;c;λ)=abc+λ*(a+b+c-100).

In diese Funktion ist die Nebenbedingung eingearbeitet.

Wenn Du nun das Maximum herausfinden willst, mußt Du die Ableitung auf Null setzen.

Da wir hier nicht nur eine Variable, sondern gleich vier haben, müssen wir für jede Variable eine eigene Ableitung bilden und auf Null setzen.

Die anderen Variablen, nach denen nicht abgeleitet wird, werden dann wie normale Zahlen oder Konstanten behandelt.

Zunächst leiten wir nach a ab und b, c und λ werden als Konstanten behandelt:

Ableitung von a*b*c nach a ist b*c entsprechend der Ableitung 3x nach x, nämlich 3.

Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten, eine Variable in einfacher Potenz wird beim Ableiten zu 1, entsprechend der Ableitung von x: nämlich 1.

λ*(a+b+c-100) ist einfach λ. b, c und 100 sind Konstanten, die nicht mit einer Variablen verbunden sind; sie verschwinden beim Ableiten, denn die Ableitung von einer Zahl wie 3 oder einer Konstanten wie b, wenn nach x abgeleitet wird, ist einfach Null.

In der Klammer bleibt also nur das a als Variable übrig, das mit λ multipliziert wird. Beim Ableiten bleibt nur λ als konstanter Faktor übrig, da a nur in einfacher Potenz auftritt.

So ist die Ableitung von V(a;b;c;λ)=abc+λ*(a+b+c-100) V'(a)=bc+λ.

Das wird auf Null gesetzt: bc+λ=0.

Entsprechend lautet die Ableitung nach b auf Null gesetzt: V'(b)=ac+λ=0

und die Ableitung nach c: ab+λ=0

Leiten wir dagegen nach lambda ab, ist die ganze Klammer der konstante Faktor von λ, das jetzt als Variable betrachtet wird und die Ableitung ist einfach die Nebenbedingung: a+b+c-100=0.

Wenn aber ab, bc und ac jedesmal das Gleiche ergeben, nämlich Null, wenn zu ihnen der gleiche Summand λ addiert wird, müssen, ab, ac und bc gleich sein.

Es muß gelten: ab=ac=bc.

Wenn aber ab=ac, ist b=c, wenn ac=bc, ist a=b, wenn ab=bc, ist a=c.

Es gilt also: a=b=c.

Wir können nun in der letzten Gleichung b und c einfach durch a ersetzen:

a+a+a-100=0

3a-100=0

3a=100.

a=100/3=33 1/3.

Das ist die optimale Lösung. Darfst Du nur ganzzahlige Faktoren verwenden, mußt Du dem Ideal möglichst nahe kommen, also a=b=33 und c=34.

Geometrisch gesehen entspricht die Lösung einem Quader mit gegebener Summe dreier senkrecht aufeinanderstehender Kanten und maximalem Volumen.

Bekanntlich ist die Lösung dafür ein Würfel, also auch a=b=c.

Herzliche Grüße,

Willy

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich habe es glücklicherweise verstanden und werde es morgen der Klasse vorstellen wollen.

Ich habe dennoch eine Frage: Wie kann ich mit den ganzen Variablen ermitteln, ob es sich um eine Maximal- oder Minimalstelle handelt?

Die zweiten Ableitungen wären 0 und müsste dafür das zweite Kriterium verwenden und schauen ob die Ableitung das Vorzeichen wechselt.

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@sabba16

Das ist bei Funktionen mit mehreren Variablen nicht so einfach über die zweite Ableitung zu bestimmen.

Du kannst doch leicht nachweisen, daß Du mit irgendeiner anderen möglichen Kombination zu einem kleineren Produkt kommst. Es kann sich also bei der gefundenen Lösung nicht um ein Minimum handeln.

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Vielen Dank für den Stern.

Hast Du das Thema vorgestellt? Das Lagrange-Verfahren wird in der Schule normalerweise nicht gelehrt.

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Du suchst das Maximum einer Funktion mit zwei Variablen:

f(a, b) = a·b·(100-a-b)

Halte das a für einen Moment als Parameter fest und bestimme dafür das optimale b(a) durch ("partielles") Ableiten von f nach b: Betrachte dabei a als Konstante und b als die Variable, nach der abgeleitet wird. -- (Ich vermute, das liefert Dir b(a)=a.)

Dieses b(a) setzt Du jetzt in f(a,b) ein und bekommst so eine Funktion g(a)=f(a, b(a)), die das bestmögliche Produkt bei gegebenem a liefert.

Nun kannst Du dasjenige a* bestimmen, für das die Funktion g(a) maximal wird. Die Lösung lautet dann ( a, b, c, ) = ( a*, b(a*), 100-a*-b(a*) )

Erstmal vorweg in meiner Schulzeit - die jetzt auch nicht so lange her ist - habe ich derartige Fragen gehasst^^ Da muss man echt den Kopf zerbrechen. Aber Vergiss nie es gibt immer einen kurzen weg!

Ich habe versucht die Zahlen a,b und c möglichst nah bei einander zu halten, um das größte Ergebnis zu erhalten, so wie es die Frage von uns verlangt.

-> a=x b=x+1 c=x+3 -> x + (x+1) + (x+3) = 100 -> 3x + 4 = 100 3x=96 x = 32

a=x b=x+1 c=x+3

Da die Zahlen möglichst nahe aneinander sein sollten wie oben schon erwähnt, gebe ich "a" den Wert von 32, "b" den Wert von 33(weil plus 1) und "c" den Wert von 35(weil plus 3). Die Logik ist die, dass man am ende das Ergebnis noch durch 3 teilen sollte können .

-> 32 + 33 + 35 = 100 -> 32 x 33 x 35 = 36.960

Mit der Logik die ich oben versucht habe zu erklären habe ich nur 3-4 versuche gebraucht um zu merken das 36.960 das höchste Ergebnis sein kann. Ich bin mir jedoch nicht zu 100% sicher! Weißt du denn die Antwort? Würde mich mal interessieren.

33+33+34.

33*33*34=37026

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@Willy1729

Bei deiner Lösung ist aber 2 mal die selbe Zahl(33). Die Frage will doch von uns aber 3 verschiede(a, b und c). Oder habe ich da was übersehen?

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@lDontKnowMYname

Da steht nichts von unterschiedlichen Summanden, sondern nur, daß die 100 auf unterschiedliche Art in drei Summanden zerlegt werden kann. Nicht einmal ganze Zahlen sind als Bedingung vorausgesetzt.

Wie gezeigt, hast Du das optimale Ergebnis bei a=b=c=33 1/3.

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@Willy1729

Achso, na dann^^ Bei mir ist es so in den Sinn geblieben das die jeweiligen Zahlen je nach den verschieden Buchstaben oder Symbolen ggf. auch verschieden sind.

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@lDontKnowMYname

Unterschiedliche Buchstaben müssen nicht unbedingt unterschiedliche Zahlen sein, sondern können auch für gleiche Zahlen stehen.. Nur gleiche Buchstaben müssen gleiche Zahlen sein.

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