Mathe extremalprobleme regentonne aufgabe?
Kann mir jemand bitte Sagen wie man das löst? Und erklären wie man vorgehen muss?
1 Antwort
Hallo,
die Zielfunktion ist die von r abhängige Funktion, die das Volumen der Tonne angibt.
Da die Tonne die Form eines Zylinders besitzt, ist ihr Volumen gleich Grundfläche mal Höhe, also πr²*h.
Die Nebenbedingung ist, daß 2 m² Material verwendet werden.
Da die Tonne oben offen ist, muß das Material für die Grundfläche,
also πr² und für den Mantel, also 2πrh reichen.
πr²+2πrh=2
Das löst Du nach h auf:
2πrh=2-πr²
h=(2-πr²)/(2πr)
Nun setzt Du diesen Term anstelle von h in die Zielfunktion ein und bekommst:
f(r)=πr²*(2-πr²)/(2πr)
π und r kannst Du kürzen:
f(r)=r*(2-πr²)/2=r-πr³
Das Maximum liegt da, wo die Ableitung der Funktion Null ist:
f'(r)=1-2πr²=0
2πr²=1
r²=1/(2π)
r=√[1/(2π)]=0,3989422804 m
Da h=(2-πr²)/(2πr), ist h=0,5984134206 m
Die Tonne hat somit ein maximales Volumen von knapp 300 (299,2) Liter.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe einen Fehler gemacht:
f(r)=r*(2-πr²)/2=r-πr³ ist falsch.
f(r)=r*(2-πr²)/2=r-πr³/2 (ich hatte vergessen, durch 2 zu teilen).f'(r)=1-3πr²/2=0
3πr²/2=1πr²=2/3r²=2/(3π)
r=√[2/(3π)=0,460658866 m
h=0,460658866 m
Willy