Extremalprobleme?
Habe sehr Schwierigkeiten beim lösen von Extremalproblemen, jedoch muss ich diese Aufgabe als Hausaufgabe machen. Kann mir jemand helfen?
2 Antworten
Da gibt es zwei Ansätze, um das Problem zu lösen.
1) Man berechent die Fläche des grauen Dreiecks. Dazu muss man aber erstmal die Grundseite und die Höhe ausrechnen, um dann mit A = 1/2 g * h die Fläche zu ermitteln. Höhe und Grundseute kriegt man über Pythagoras raus, wird aber eine etwas umständliche Rechnung.
2) Man berechnet nicht die Fläche des grauen Dreiscks, sondern der drei weißen Dreiecke und zieht die am Ende von der Fläche des Quadrates = 16 cm^2 ab. Das hat den Vorteil, dass die drei weißen Dreiecke rechtwinklige Dreiecke sind, deren Höhe und Grundseite man ohne Rechnung direkt aus der Zeichnung ablesen kann.
Denn zweiten Weg wähle ich:
a) Fläche der beiden weißen Dreiecke jeweils:
A1= 1/2 * 4 * (4 -x)
b) Fläche des kleinen Dreiecks rechts oben:
A2 = 1/2 x * x = x^2 / 2
Summe der drei weißen Dreiecke:
A(x) = 2 * (1/2 * 4 * (4 -x)) + x^2 / 2 = 16 - 4x + x^2 / 2
A(x) = 0,5 x^2 - 4x + 16
Von dieser Funktion suchen wir nun das Minimum, denn wenn die weißen Dreiecke minimal sind, ist das graue Dreieck zwangsläufig maximal. Dazu leiten wir A(x) ab:
A'(x) = x - 4
und setzen es zu 0:
x - 4 = 0
x = 4
Ach, das ist ja erstaunlich. Bei x = 4 ist die Grundseite des grauen Dreiecks = der Diagonalen des Quadrats. Damit wird die Berechnung der Fläche des grauen Dreiecks ganz einfach:
A = 16 cm^2 / 2 = 8 cm^2
A= Flächeninhalt des Dreiecks APQ
A(X)= 4^2-2×4×(4-X)/2-X^2/2
A(X)=4X-X^2/2 davon der Scheitelpunkt S(4;8)
oder A'(X)=0 -> 4 - X = 0 X=4 A=8
Oder Weg 3: Viereck APCQ (Drachenviereck) minus Dreieck PCQ.
Die lange Diagonale des Drachenvierecks ist gleich der Diagonale des Quadrats, hat also eine Länge von 4*Wurzel (2) cm.
Die kurze Diagonal ist entsprechend x*Wurzel (2) lang.
Fläche des Vierecks ist lange Diagonale mal halbe kurze Diagonale, also
4*Wurzel (2)*x*Wurzel (2)*(1/2)=4x.
Die Fläche des kleinen Dreiecks ist x²/2.
Graue Fläche also 4x-x²/2.
Nach x ableiten und gleich Null setzen:
4-x=0, also x=4.
Herzliche Grüße,
Willy