Mathe - Verlauf des Graphen, Eigenschaften, Näherungsfunktionen?

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f(x)=e^(x)+1/2*x ist eine Überlagerung von 2 Funktionen h(x)=f(x)+f(x)

f(x)=e^(x) ist eine Exponentialfunktion,die monoton steigent ist f´(x)=m>0

g(x)=1/2*x ist eine Gerade der Form g(x)=m*x m=0,5 >0 geht durch den Ursprung

x=0 → f(0)=e⁰+1/2*0=1 Schnittpunkt mit der y-Achse bei P(0/1)

für x>0 ist f(x)=e^(x) >0 und g(x)=1/2*x >0 also keine Nullstellen x≥0

für x<0 x=-1

f(-1)=e^(-1)+0,5*(-1)=1/e¹-0,5=1/2,718-0,5=0,3679-0,5=-0,132..

bedeutet zwischen x1=-1 und x2=0 eine Nullstelle

Näherung könnte sein,für x>0 eine Parabel der Form y=f(x)=a*x²+1 mit a>1

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Vielen Dank!

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Punkte einsetzen und denken sind hier die Ansätze

Und man sollte wissen wie e^x und 0.5x verlaufen 

Beliebte Punkte sind -1, 0 und +1

e ist 2.718.. ich rechne nur hier mit 3

f(-1) = 1/3 + 0.5*-1 = -1/6 

aha ! unterhalb der x-Achse

f(0) = e^0 + 0.5*0 = 1

aha ! oberhalb der x-Achse

irgendwo zwischen -1 und 0 ist also eine Nullstelle.

f(1) = e^1 + 0.5*1 = 3.218

bringt nicht so viel

Die drei Punkte kann man schon mal eintragen .

wie sieht es nun bei sehr großen und bei sehr kleinen x-Werten aus ? 

Das heißt , wie verläuft die Kurve, wenn man sie in Richtung + bzw - unendlich betrachtet

Minuswerte

e hoch großer Minuswert wird sehr klein

beispiel: : : e hoch -1000 = 1/e^1000

Geht also nicht weit weg von der x-Achse. 

Aber da ist ja noch 0.5x ! dieser Anteil in der Fkt dominiert und ist daher zugleich die Näherungsfkt 

Pluswerte.

Hier dominiert e^x und 0.5 kann man vernachlässigen

e^x ist also in diesem Bereich Näh-Fkt. 

Ableitung kennt ihr ja schon , oder ?

Was jetzt kommt , kann man alles im Kopf machen!

f'(x) = e^x + 0.5

0 = e^x + 0.5

-0.5 = e^x

Wissen muss man : e^x kann nicht negativ werden, daher hat die Fkt kein Extremum

Wie sieht es mit Wendepunkten aus ? 

f''(x) = e^x 

kann wie gesagt nicht Null werden, also auch keine WP

Jetzt kann man skizzieren

Links sieht sie eher wie eine Gerade aus , rechts wie die e^x - Fkt .

Mal gucken , obs auch im Bild erkennbar ist

passt doch , den rechten Ast auch noch sichtbarer machen :

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Vielen Dank!

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