Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert erklärung?
Hallo,
kann mir bitte jemand sagen,wie man hier den Rechts bzw linksseitigen limes berechnet hat?(rote Pfeile)
Hat man bei einem -1 und anderem +1 ein eingesetzt oder wie kommt man auf plus und minus unendlich ?
Habe versucht es durch google raus zu finden aber ich verstehe es immer noch nicht ..
danke:)
3 Antworten
Also in diesem Beispiel kann man sich doch ganz einfach überlegen, was passiert.
Man setzt beim Grenzwert niemals den eigentlichen Wert ein, denn die Funktion ist meist in diesen Stellen nicht definiert. Auch nimmt man hier nicht -1 und +1, sondern man nähert sich von links/rechts an -1 an.
Oben von der linken Seite, sprich, alle eingesetzten x sind kleiner als -1, unten von der rechten Seite. Alle eingesetzten x sind größer als -1.
So. Also, Zahlen, die kleiner sind als -1 werden eingesetzt (z.B. -2, -1,5, -1,3, ...). Was passiert? Im Nenner steht immer was Negatives, im Zähler immer was Positives, aber der Nenner wird immer kleiner. Sprich, der Bruch ist negativ, der Wert geht immer weiter Richtung unendlich (je kleiner der Nenner, desto mehr Richtung unendlich).
Umgekehrt im unteren Fall. x ist > -1, also z.B. 0, -0,5, -0,3. Was ist da los? Der Zähler bleibt immer positiv, je näher Du an -1 kommst, der Nenner wird immer kleiner und bleibt ebenfalls positiv. Somit geht der Bruch gegen Plus-Unendlich.
Naja, im Wesentlichen weißt Du dann, dass es völlig wurscht ist, was Du für x einsetzt: der Zähler ist immer positiv oder 0. Der Nenner kann hingegen positiv oder negativ sein.
Nein, Du setzt (in Gedanken reicht) einmal z. B. -1,1 ein (für linksseitig, d. h. "knapp links" von der zu untersuchenden Stelle) und einmal -0,9 (für rechtsseitig, d. h. "knapp rechts" von dieser Stelle). Im Zähler kannst Du einfach die -1 einsetzen. Je näher x an -1 rückt, desto kleiner wird der Nenner, egal ob von links oder rechts. Es kommt also auf jeden Fall "unendlich" als Grenzwert raus. Es kommt nur noch aufs Vorzeichen an!
Der Zähler ist positiv (1-(-1)=1+1=2). Von links kommend ist der Nenner negativ (1+(-1,1)=1-1,1=-0,1<0), also ist der Bruch negativ, daher ist der Grenzwert minus-unendlich.
Für den rechtsseitigen gehst Du analog vor.
danke!!
können Sie mir bitte auch Sagen, wie es mit Beträgen aussieht?
wenn ich zb. habe : |x^2-9|/(x+3),
muss ich dann auf etwas bestimmtes achten?
Kannst mich ruhig duzen (mach ich ja auch :) ).
Setzt Du hier die Lücke -3 ein, erhältst Du 0/0, d. h. Du hast eine behebbare Definitionslücke, was bedeutet, Du kannst nach der einen oder anderen Umformung den Nenner kürzen.
Hierzu splittest Du zuerst einmal die Betragsfunktion auf, d. h. Du unterscheidest die Funktion für x>=-3 und x<-3. Dann wirst Du sehen, dass die Funktion bei x=-3 einen Sprung macht...
Hast Du die Funktionsterme gekürzt, dann kannst Du die Grenzwerte (links-rechtsseitig) in die entsprechende Funktion einfach einsetzen:
für x²-9>=0, also x>=3 und x<=-3 gilt: f(x)=(x²-9)/(x+3)=(x+3)(x-3)/(x+3)=x-3
für x²-9<0, also x<3 und x>-3 gilt: f(x)=-(x²-9)/(x+3)=...=-(x-3)=-x+3
l-lim x->-3 x-3 = -3-3 = -6
r-lim x->-3 -x+3 = -(-3)+3 = +6
Sry, hatte vorhin nur noch Zeit für diesen einen schnellen Satz...
Hast Du einen Term soweit umgeformt, dass es möglich ist, den Wert einzusetzen, für den der Grenzwert bestimmt werden soll, dann kannst Du das natürlich einfach machen!
In diesem Beispiel hast Du (bzw. ich) die Betragsfunktion in "ihre Bestandteile" aufgelöst und dann so weit es ging vereinfacht. Von links Richtung -3 kannst Du natürlich -5; -4; -3; -3,1; -3,0001 einsetzen, letztendlich ist der Grenzwert bei x=-3 (dieser Wert ist für die (Ur-)Funktion zwar nicht definiert, aber in den vereinfachten Term einsetzbar...).
Für x-Werte kleiner -3 gilt die (Teil-)Funktion g(x)=-x+3.
Für Werte zwischen -3 und +3 gilt die Funktion h(x)=x-3
Von links kommend gilt also bis -3 g(x), danach h(x) und ab x>3 gilt wieder h(x).
Je nachdem, in welchem x-Bereich Du Dich nun gerade "aufhältst", musst Du auch die entsprechende (Teil-)Funktion wählen.
-1 hat man bestimmt nicht eingesetzt; steht ja da auch.
Wenn x < -1 ist, ist der Nenner negativ, nähert sich aber
für x --> -1 Null. Der Bruch geht dann gegen -Unendlich.
Wenn x > -1 ist, ist der Nenner positiv, nähert sich aber
für x --> -1 auch Null. Der Bruch geht dann gegen +Unendlich.
Einfach nur Top erklärt,danke!!
können Sie mir bitte auch Sagen, wie es mit Beträgen aussieht?
wenn ich zb. habe : |x^2-9|/ x+3