Links- & rechtsseitiger Grenzwert?
f(x) = |x| / x
lim x->0+ f(x)
lim x->0- f(x)
Wie lauten der links- und rechtsseitige Grenzwert für x gegen 0?
2 Antworten
Löst Du den Betrag auf, erhältst Du f1(x)=-x/x=-1 für x<0 und f2(x)=x/x=+1 für x>0.
Jetzt sind die rechts- und linksseitigen Grenzwerte gegen Null sicher kein Problem mehr.
Wenn du zeigen willst, dass f in 0 nicht stetig ist, dann zeige doch einfach, dass da eine Singularität der Ordnung 1 (Polstelle) ist.
Der Fakt, das 0 in f nicht definiert ist, zeigt schon, dass f nicht stetig ist...
Für lim x->0+ kommt +1 raus, nicht -1; für lim x->0- kommt -1 raus.
"Deine" Funktion ist quasi die Signum-Funktion, mit dem Unterschied, dass dort f(0)=0 definiert ist und hier ist f(0) undefiniert.
Und wie ich gerade lese möchtest Du die Steigkeit bei x=0 prüfen, aber da die Funktion dort nicht definiert ist, stellt sich dort auch die Frage nach Stetigkeit nicht.
"Deine" Funktion ist stetig, die Signum-Funktion ist es (bei x=0) nicht, da bei ihr f(0)=0 gilt und damit die erste Bedingung erfüllt ist (f ist bei x0 definiert), aber die zweite nicht, da l-lim x->0≠r-lim x->0 ist.
Du kannst es einfach umschreiben:
(für alle x ungleich 0)
Für alles negative, was hier linkseitig von 0 ist, ergibt sng -1, und für alles positive, was hier rechtsseitig von 0 ist, ergibt der sng +1:
Dann bekomme ich ja für lim x->0+ -1 und 1 raus und für lim x->0- bekomme ich 1 und -1 raus oder?
Ich möchte damit beweisen, dass f in 0 nicht stetig sein kann, da der linke und rechte Grenzwert verschieden ist.
Zumindest würde ich das normalerweise so machen, aber bei dem Beispiel habe ich ja 4 Grenzwerte und das verwirrt mich ein bisschen.