Linearfaktorform
Hallo Leute, ich hab ein Problem mit einer Linearfaktorform einer Funktion. Normalerweise sucht man ja die Nullstellen, dann macht man x-Nullstelle oder eben x+Nullstelle. Aber wie ist es denn bei der Funktion 1/3*(x hoch 4-8x²-9)? Ich habe meine Nullstellen bei +3 und bei -3, dann lautet die Linearfaktorform ja 1/3(X+3)(X-3). Wieso muss ich dann am Schluss aber noch (x²+1) einfügen? Kann mir das bitte jemand erklären?
Danke :)
2 Antworten
Das ist eine der Spezialitäten der "Parabolik".
Bei f(x) = 1/3 (x^4 - 8 x² - 9) darfst du nicht einfach mitten in der Gleichung eine Binomische Regel anwenden, ohne besondere Vorsichtsmaßnahmen zu ergreifen.
Bei Gleichungen 4. Grades, die kein x³ haben, kannst du aber substituieren:
z = x²
Für die Linearfaktoren, weil ja rechts = 0 steht, kannst du gleich vorher mit 3 durchmultiplizieren, dann steht da
z² - 8z - 9 = 0
Das ist leicht mit p,q lösbar.
Aus den z machst du dann wieder x und bekommst maximal 4 Lösungen, die du in die Linearfaktoren umsetzen kannst. Denk an das Umkehren der Vorzeichen!
Die Lösungen für z sind:
z1 = -1
z2 = 9
z1 ist nach x hin nicht mit reellen Zahlen aufzulösen.
z2 ergibt, wie du sagst,
x1 = +3
x2 = -3
Nun ist z1 aber nicht einfach weg, sondern es steht ja für
x² = -1 .... und in Schreibweise der Linearfaktoren:
x² + 1 = 0
Das ist die einstweilen unauflösbare Gleichung für die anderen beiden Linearfaktoren. Daher kommt insgesamt heraus:
(x - 3) (x + 3) (x² + 1)
Wenn du das ausmultiplizierst, kommt genau wieder x^4 - 8x² - 9 heraus, wie gewünscht. Das Drittel kannst du dann nach Belieben auch noch mulriplizieren. (Es spielt aber keine Rolle,)
Du hast eine Funktion vierten Grades. Wenn du jetzt nur zwei Faktoren (x-x1) und (x-x2) miteinander mulitplizierst, dann hast du nur eine Funktion zweiten Grades, also eine quadratische Funktion.
Offenbar fehlt da also noch was. Eine Funktion vierten Grades hat im Maximalfall vier (reelle) Nullstellen. Und genau in diesem Maximalfall ergibt sich die Funktion als Produkt
a (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
Hast du nur weniger Nullstellen (und handelt es sich nicht um doppelte Nullstellen, das kann ja auch sein), dann musst du den fehlenden Term per Polynomdivision ermitteln. Also:
(x^4 - 8x² - 9) : ((x+3)(x-3)) = (x^4 - 8x² - 9) : (x² -3) = x² + 1
Und damit ist eben
(x^4 - 8x² - 9) = 1/3 (x-3)(x+3) (x²+1)
Ein Polynom lässt sich nur dann vollständig in seine Nullstellen zerlegen, wenn es auch genauso viele Nullstellen hat (doppelte eingerechnet), wie sein Grad ist.
Bei einem quadratischen Polynom ist das einfach - da gilt entweder, dass man das Polynom gar nicht zerlegen kann (weil man keine reelle Nullstelle hat) oder das man es zerlegen kann (eine doppelte Nullstelle oder zwei verschiedene Nullstellen).
Bei höhergradigen Polynomen kommt es eben vor, dass man sie nur teilweise zerlegen kann.
Ja, das hab ich gemacht. Und dann kamen bei mir die Nullstellen +3 und -3 raus. Aber die Linearfaktorform lautet ja: 1/3 (x-3)(x+3)(x²+1). Und ich verstehe nicht wo das x²+1 herkommt :)