Lineare Funktionen Könnt ihr mir bitte helfen?

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3 Antworten

Hi :)

Aufgabe 1

Du hast folgende Punkte gegeben:

O(66|41)
F(30|95)

Nun kannst du m mit folgender Formel bestimmen:

m = (y2-y1)/(x2-x1) = Delta y / Delta x

Dieses Delta gibt in der Mathematik eine Differenz an. Du musst dir das wie ein Steigungsdreieck vorstellen. Und warum ist der ausgerechnet Delta y / Delta x?

Schauen wir mal in die Trigonometrie. Es gilt: m = tan(Alpha) und dieser ist sin(Alpha)/Cos(Alpha). Durch die Definition, dass der Sinus im Einheitskreis der y-Wert und der Cosinus der x-Wert des Punktes P sind, gilt eben die Formel. 

Die wenden wir mal an:

m = (41-95)/(66-30) = -54/36 = -3/2

Nun Kann man einen der Punkte (egal, welchen du nimmst) und m in die Gleichung y = mx+b einsetzen, um diese dann nach b auszulösen:

41 = 66*(-3/2) +b |ausmultiplizieren

41 =  -99+b |+99

140 = b

Prüfen wir nochmal nach, indem wir F statt O nehmen:

95 = 30*(-3/2) |ausmultiplizieren

95 = -45 +b |+45

140 = b

Nun folgt daraus unsere Gleichung für f:

f(x) = -3/2x +140

Aufgabe 2

f(x) = -3/2x +140

g(x) = 2/3x +10

Um einen Schnittpunkt zweier Funktionen zu berechnen, musst du diese gleichsetzen. Du löst damit nämlich letztendlich ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Beide Funktionsgleichungen sind nach y aufgelöst - f(x) und g(x) sind "Synonyme" dafür.

Also setzen wir:

f(x) = g(x)

-3/2x +140 = 2/3x +10 |-10

-3/2x +130 = 2/3x |+3/2x

130 = 13/6x |:(13/6)

x = 60

Nun setzt du das in eine deiner Funktionsgleichungen ein, da beide ja schon nach y aufgelöst sind:

g(60) = 2/3*60 +10 = 40 +10 = 50

Unser Schnittpunkt S ist also

S(60|50).

Aufgabe 3

Die Straße ist beim Schnittpunkt! 

Nun schaust du, wie lange die Karavane und wie lange der Transporter braucht. Hier brauchst du den Pythagoras! Denn du musst die Länge der Strecke von O bis S ermitteln.

Delta y = 9

Delta x = 6

Also sind Delta y 9 km und Delta x 6 km lang. Das sind unsere Katheten. Die Länge der Hypotenuse erhältst du mit

s = Wurzel (81+36) = Wurzel (117) = Wurzel (9*13) = 3 * Wurzel (13)

Nun gilt

v = s/t, nach t umgestellt erhalten wir

t = s/v

Einsetzen:

tk = (3/5)km/h * Wurzel (13 ) km => Habe nur Bruchrechnung angewendet ;)

= 0,6 * Wurzel (13) h

Nun das Gleiche für den Transporter nach dem gleichen Prinzip:

Delta y = 40

Delta x = 60

Also ist 

s2 = Wurzel (60² + 40²) = 18 * Wurzel (13) km

Einsetzen in t = s/v:

tw = (18/30)km/h * Wurzel (13) km

= 0,6 * Wurzel (13) h

Sie benötigen also die gleiche Zeit.

Aufgabe 4:

f(x) = -3/2x +140

g(x) = 2/3x +10

Man sieht sofort, dass sich die Geraden im rechten Winkel schneiden werden, denn m1 = -1/m2. Dieser Fall liegt hier vor:

-3/2 = -1/(2/3)

-3/2 = -3/2

=> stimmt.

Somit ist der Schnittwinkel

Alpha = 90°.

Ich hoffe, dass dir meine Ausführungen geholfen haben - bei Fragen melde dich gern bei mir, bin im Mathe LK und helfe gern weiter :)

LG ShD

a) Zunächst soll die Funktion f bestimmt werden. Wir gehen von O(66/41) nach F(30/95). Dadurch erhalten wir die Steigung, indem wir die Differenzen der y- und der x-Werte dividieren: m = (y_F - y_O)/(x_F - x_O) = (95-41) / (30-66) = (54) / (-36) = - 3/2. Setzen wir nun in die Funktionsgleichung f(x)=m*x+c für f(x) = 95, für x = 30 und für m = -3/2 ein, dann erhalten wir c: 95=-3/2*30+c, also c=95+3/2*30=95+45=140. Die Gleichung für f ist also: f(x) = - 3/2*x + 140.

b) Schnittpunkt bestimmen heißt: Gleichungen gleichstellen. f(x) = g(x), also - 3/2*x+140 = 2/3*x+10. Auflösen nach x ergibt: 130=2/3*x+3/2*x, somit 130=13/6*x, schließlich x = 60. Einsetzen in f(x) ergibt: f(60) = - 3/2*60+140=-90+140=50. Der Schnittpunkt liegt also bei S(60/50).

c) Hier weiß ich nicht, ob du schon den Pythagoras kennst. Falls ja, kann man das mit den Weglängen bzw. den Abständen der Punkte berechnen. 

d) Die Wege kreuzen sich in einem Winkel von 90 Grad, denn - 3/2 * 2/3 = -1. Wenn sich zwei Geraden schneiden und das Produkt der Steigungen -1 ergibt, dann sind sie senkrecht zueinander.

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a) g₁: x͐ = o͐ + r v͐₁ und g₂: x͐ = t͐ + s v͐₂ mit o͐ (66 ; 41), v͐₁ (-2 ; 3), t͐ (0 ; 10) und v͐₂ (3 | 2)

b) für r = 3 und s = 20 ist der gemeinsame Punkt S(60 | 50)

c) OS = 3 ∙ | v͐₁ | = 3 ∙ √13 , also braucht die Karawane t₁ = 3 ∙ √13 / 5 = 0,6 ∙ √13 h bis S

TS = 18 ∙ | v͐₂ | = 18 ∙ √13, also braucht der Transporter t₂ = 18 ∙ √13 / 30  = 0,6 ∙ √13 h bis S,

sie kommen also gleichzeitig in S an.

d) Da v͐₁ ∙ v͐₂ = 0 , ist der Winkel zwischen v͐₁ und v͐₂ 90°.

Dankee :D hat mir sehr geholfen ... :)

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