Limes gegen Null Sinus?
hallo,
wieso ist sinus usw. gegen null gleich eins hier ?
2 Antworten
Hallo techwox,
könnt Ihr Reihenentwicklung? Viele Funktionen kann man nämlich problemlos mit ihren Potenzreihen identifizieren, und bei Sinus und Cosinus oder der Exponentialfunktion ist dies der Fall.*)
Es ist
(1) sin(x) = x – x³/6 + … + xⁿ/n! – …
und damit
(2) sin(x³) = x³ – x⁹/6 + … + x³ⁿ/n! – …
und damit
(3) sin(x³)/x³ = 1 – x⁶/6 + … + x³ⁿ⁻³/n! – ….,
was im Limes x→0 erkennbar 1 ergibt, denn nur das erste Glied enthält kein x mehr, und im Nenner kommt x nicht vor, was natürlich Voraussetzung dafür ist, dass man den Grenzübergang machen darf.
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*) Vorsichtig sein muss man beim Tangens, weil der Polstellen hat. Da ist die Reihenentwicklung nur begrenzt möglich. Die Begrenzung gilt übrigens auch, wenn die Polstellen nicht reell sind.
Die cos Ausdrücke sind ja unkritisch, da sie gegen 1 gehen.
Für hinreichend kleine x nähert sich sin(x) immer mehr an x an, wesewgen der Quotient 1 wird:
Die Stelle x=0 ist für sin(x)/x eine hebbare Definitionslücke:
