LGS Anzahl der Lösungen Körper F?
Hallo Leute,
Ich habe folgende Aufgabe gemacht undzwar diese:
Ich muss nun die Anzahl der folgenden Lösungen angeben.
Wie geht das?
Hier ist die Zeilenstufenform von 1)-4)
1) (3 2 2)
(0 0 0)
(0 0 0)
(0 0 0)
2) (2 1 0)
(0 0 0)
(0 0 0)
(0 0 0)
3) (1 1 1 1)
(0 1 0 0)
4) (3 2 3)
(0 1 4)
Danke im Voraus
1 Antwort
Aus der Zeilenstufenform kannst du ja die Dimension des Kerns der Matrix ablesen. Diese ist gleichzeitig die Dimension des Lösungsraumes für das homogene LGS.
Nehmen wir an, n ist diese Dimension. Dann ist der Lösungsraum isomorph zum K^n. Und wie viele Elemente hat der?
Ja. Das heißt, die Matrix (nennen wir sie A) hat den Rang 1, weil sie in ZSF nur eine Zeile besitzt, die keine Nullzeile ist. Nach der Dimensionsformel gilt:
Rang(A) + dim(Kern(A)) = dim(K³), oder wenn man die Zahlen einsetzt:
1 + dim(Kern(A)) = 3.
Das bedeutet, dass Kern(A) die Dimension 2 haben muss. Daher ist Kern(A) isomorph zu K².
Daher hat Kern(A) genauso viele Elemente wie K².
oki danke ich versuch das bei den anderen.
Ich habe das nicht ganz verstanden. Ich habe doch eine 4 x 3 Matrix im ersten Beispiel. In Zeilenstufenform habe ich nur 3 Elemente in der ersten Spalte und in 3 anderen alles mit 0en.