Kriterium: Das Stetigkeit und Dichtheit verbindet?
Welches Kriterium könnte hier gemeint sein ? Der Nullstellensatz würde mir hier nicht wirklich weiterhelfen (ich sehe auch nicht ein wie er mit der Dichtheit zusammenhängt), für den Fixpunktsatz habe ich die gleiche Meinung. Der Zwischenwertsatz wäre hier denkbar, aber die Funktion ist nicht auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ( man könnte aber ein abgeschlossenes Intervall um die Argumente betrachten ?). Hat jemand einen Vorschlag ? Bin für Ideen dankbar.
2 Antworten
Keines deiner aufgezählten Sätzen ist ein Kriterium für Stetigkeit.
Stetigkeitskriterien sind z. B. das Epsilon-Delta-Kriterium oder das Grenzwertkriterium (welches besagt, dass f an einer Stelle y stetig ist, genau dann wenn der links/rechtsseitige Limes übereinstimmen, also lim_{x->y+} f(x) = f(y) = lim_{x->y-} f(x) )
Zweiteres wird wohl jenes sein, das du benutzen sollst, weil man die Dichtheit von Q in IR ebenso mit Grenzwerten beweisen kann.
PS: Damit ist man schon fast fertig. Man muss nur noch die zwei Ideen zusammenfügen.
Ich würde indirekt ansetzen, angenommen h1(x) <> h2(x), | h1(x) - h2(x) | > 2 * epsilon > 0 mit geeignetem epsilon.
Dann findest du ein delta > 0so dass | h1(x) - h1(y) | < epsilon und | h2(x) - h2(y) | < epsilon, wenn nur | x - y | < delta. Das heisst, du hast disjunkte epsilon Umgebungen um h1(x) und h2(x) gefunden.
Nimm jetzt ein rationales y, | x - y | < delta, das du wegen der Dichtheit finden kannst, und führe das mit der Dreiecksungleichung zum Widerspruch.