Kompositionen von Funktionen?

Hallo,

wenn ich die Funktionen

$g_1:\ x\ ->\ x-2\ und\ g_2:\ x\ ->\ x-2$

habe und davon die Komposition bilde erhalte ich doch g1(g2(x)). Dann bekomme ich doch eine Funktion g3 mit:

$g_3:\ x\ ->\ x-4$

Wäre das so richtig? An meinem Defintionsbereich ändert sich doch nichts oder? Ist ein bisschen her seit dem ich das gemacht habe:/

Schonmal vielen Dank:))

Answer 1

[mihisu]

Ja. Mit...

$g_1:\quad x\mapsto x-2$

$g_2:\quad x\mapsto x-2$

... erhält man für die Komposition g₃ := g₁ ∘ g₂ ...

$g_3:\quad x\mapsto x-4$

Denn...

$g_3(x)=\left(g_1\circ g_2\right)(x)=g_1(g_2(x))=(x-2)-2=x-4$

============

An meinem Defintionsbereich ändert sich doch nichts oder?

Das kommt darauf an, wie die Definitionsbereiche von g₁ bzw. g₂ aussehen. Wenn du beispielsweise die Funktionen...

$g_1:\quad \mathbb{R}_{\geq2}\to\mathbb{R}_{\geq 0},\quad x\mapsto x-2$

$g_2:\quad \mathbb{R}_{\geq 4}\to\mathbb{R}_{\geq 2},\quad x\mapsto x-2$

... betrachtest, so erhältst du für die Komposition g₃ := g₁ ∘ g₂ ...

$g_3:\quad \mathbb{R}_{\geq 4}\to\mathbb{R}_{\geq 0},\quad x\mapsto x-4$

Die Komposition g₁ ∘ g₂ hat immer den gleichen Definitionsbereich wie g₂, was nicht der gleiche Definitionsbereich wie g₁ sein muss.

Insofern ändert sich nicht am Definitionsbereich wenn du g₃ mit g₁ vergleichst. Wenn du jedoch g₃ mit g₂ vergleichst, kann sich der Definitionsbereich unterscheiden.

Comments

[TBDRM]

Ist das eine Konvention, dass wenn man von der Komposition von g1 und g2 spricht, man damit g1(g2(x)) meint und nicht g2(g1(x))?

[mihisu]

@TBDRM

Nein. Da mir wäre keine entsprechende Konvention bekannt. Da müsste man genauer klären, ob man g₁ ∘ g₂ [entsprechend: g₁(g₂(x))] oder g₂ ∘ g₁ [entsprechend: g₂(g₁(x))] meint.

In meiner Antwort habe ich die Reihenfolge g₁ ∘ g₂ [entsprechend: g₁(g₂(x))] gewählt, da auch der Fragesteller diese Reihenfolge genannt hat.

[martrud]

@TBDRM

"Ist das eine Konvention, dass wenn man von der Komposition von g1 und g2 spricht, man damit g1(g2(x)) meint und nicht g2(g1(x))?"

Sinnvollerweise sollte man das gleich klarstellen !

Als Quotient der Zahlen 4 und 12 könnte man auch ebenso gut den Wert 3 oder aber den Wert 1/3 nennen.

Answer 2

[Hausi799]

Wäre das so richtig?

Ja

An meinem Defintionsbereich ändert sich doch nichts oder?

Auch das ist korrekt